[논문 리뷰] A unified, purely affine theory of gravitation and electromagnetism

Nikodem J. Popławski|ArXiv.org|2007. 05. 02.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 5인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 비틀림이 없는 아핀 접속의 곡률 텐서를 통해 중력과 전자기장을 기하학적으로 기술함으로써 순수 아핀 이론으로 중력과 전자기장을 통합적으로 기술한다. 대칭 리치 텐서 $ P_{\mu\nu} $ 는 중력을 나타내고, 두 번째 리치 텐서 $ Q_{\mu\nu} $ 는 전자기를 나타낸다. 핵심 결과는 원자력과 맥스웰 방정식이 원칙적으로 단일 아핀 라그랑지안에서 동적으로 유도되며, 물질 라그랑지안이 가장 단순할 경우 질량이 전자기 에너지에서 기인한다는 것이다.

ABSTRACT

In the purely affine formulation of gravity, the gravitational field is represented by the symmetric part of the Ricci tensor of the affine connection. The classical electromagnetic field can be represented in this formulation by the second Ricci tensor of the connection. Such a construction is dynamically equivalent to the sourceless Einstein-Maxwell equations. We generalize this construction to the case with sources, represented by the derivative of the affine Lagrangian density with respect to the connection. We show that the Maxwell equations with sources emerge for the simplest affine Lagrangian for matter, while the Einstein and Lorentz equations arise if mass has electromagnetic origin. We also show that the Maxwell equations replace the unphysical constraint imposed by the projective invariance of purely affine Lagrangians that depend explicitly on the connection.

연구 동기 및 목표

• 순수 아핀 프레임워크 내에서 사전에 메트릭이나 게이지 구조를 도입하지 않고 고전적 중력과 전자기를 통합하는 것.
• 순수 아핀 라그랑지안에서 프로젝티브 불변성에 의해 유도되는 비물리적 제약을 제거하기 위해 전자기장이 기하학적 자유도로 도입되는 방법을 제시하는 것.
• 물질 라그랑지안이 최소일 때 아인슈타인 방정식과 로렌츠 방정식이 단일 아핀 물질 라그랑지안에서 동적으로 유도되는 것을 보여주는 것.
• 순수 아핀 중력에서의 소스 없는 아인슈타인-맥스웰 등가성을 물리적 소스를 고려한 경우로 일반화하는 것.

제안 방법

• 이 이론은 아핀 접속과 그 곡률 텐서, 특히 대칭 리치 텐서 $ P_{\mu\nu} $ 와 두 번째 리치 텐서 $ Q_{\mu\nu} $ 에 의존하는 순수 아핀 라그랑지안 밀도를 사용한다.
• 메트릭 텐서는 라그랑지안에 대한 $ P_{\mu\nu} $ 에 대한 함수적 도함수를 통해 대수적으로 유도되며, $ g^{\mu\nu} \propto \partial\mathcal{L}/\partial P_{\mu\nu} $ 를 통해 기하학적 메트릭 구조를 확보한다.
• 전자기장 강도는 $ Q_{\mu\nu} $ 에 의해 표현되며, 이는 접속의 흔들림의 컬로 정의된다: $ Q_{\mu\nu} = \Gamma^{\rho}_{\rho\nu,\mu} - \Gamma^{\rho}_{\rho\mu,\nu} $.
• 물질 라그랑지안은 접속과 스칼라 전하 밀도 $ \rho $ 의 기능으로서 도입되며, 물질 분포의 4차원 속도 $ u^\mu $ 를 포함함으로써 소스 항을 허용한다.
• 전체 작용에 대해 접속에 대해 변분을 취함으로써 아인슈타인 텐서와 소스가 포함된 맥스웰 방정식을 유도하는 장 방정식이 도출된다.
• 아핀 라그랑지안의 프로젝티브 불변성은 유지되지만, 맥스웰 방정식이 소스 항으로 인해 발생할 수 있는 비물리적 제약을 대체한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 사전에 메트릭이나 게이지 장을 도입하지 않고 순수 아핀 이론에서 중력과 전자기를 통합할 수 있는가?
• RQ2 순수 아핀 기반에서 소스가 어떻게 동적으로 유도되는가? 전자기장은 비물리적 제약을 제거하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 이 프레임워크에서 질량의 기하학적 기원은 무엇이며, 전자기 에너지에서 기인함을 보일 수 있는가?
• RQ4 두 번째 리치 텐서 $ Q_{\mu\nu} $ 가 프로젝티브 불변성과 일관성을 유지하면서도 물리적 소스 역학을 허용하는가?
• RQ5 물질이 스칼라 전하 밀도와 4차원 속도를 통해 최소하게 커플링될 때, 아인슈타인 방정식과 로렌츠 방정식이 단일 아핀 작용에서 유도될 수 있는가?

주요 결과

• 아핀 작용에 대해 접속에 대해 변분을 취함으로써 도출된 장 방정식에서 전자기 에너지-운동량 텐서를 포함한 아인슈타인 방정식이 유도된다.
• 물질 라그랑지안에 스칼라 전하 밀도 $ \rho $ 와 4차원 속도 $ u^\mu $ 가 포함될 경우 맥스웰 방정식이 소스를 포함해 동적으로 유도되며, 전류 $ j^\mu \propto \rho u^\mu $ 가 유도된다.
• 효과적인 에너지 밀도 $ \epsilon \propto \rho^2 $ 와 압력 $ p \propto \rho^2 u_\sigma u^\sigma $ 가 도출되며, 이는 질량이 전하 밀도의 제곱에 비례하므로 전자기 에너지에서 기인함을 시사한다.
• 반비앙치 항등식과 장 방정식은 연속체 형태의 루렌츠 힘 법칙을 유도한다: $ ((\epsilon + p)u^\mu u^\nu)_{;\nu} - p^{,\mu} = F^{\mu\nu} j_\nu $, 이는 입자 역학과 일관된다.
• 전자기장을 나타내는 두 번째 리치 텐서 $ Q_{\mu\nu} $ 는 프로젝티브 불변성으로 인한 비물리적 제약을 대체하며, 게이지 불변성을 유지하면서도 물리적 소스를 허용한다.
• 전하 밀도가 0으로 수렴하는 극한에서 루렌츠 힘이 사라지고 지오데식 방정식이 복귀함을 확인하여, 전자기장이 없는 경우 일반 상대성 이론과의 일관성을 입증한다.