[논문 리뷰] A uniform open image theorem for l-adic representations in positive characteristic

Emiliano Ambrosi|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 16.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성에서 $\alpha$-adic 표현에 대한 통일된 개방 이미지 정리 수립을 통해, 기하학적 리-완전 조건 하에서 국소 이미지가 열린 것이 아닌 $k$-유리점들의 예외적 집합이 유한하고, 인덱스 $[\Pi : \Pi_x]$가 통일적으로 유계임을 증명한다. 결과는 캐도르-타마가와의 특성 0 결과를 일반화된 모듈러 곡선과 $\ell$-adic 코homology를 통한 야생 분열 제어를 통해 양의 특성으로 확장한다.

ABSTRACT

Let $k$ be a finitely generated field of characteristic $p > 0$ and $\\ell$ a prime. Let $X$ be a smooth, separated, geometrically connected curve of finite type over $k$ and $\ ho: \\pi_1(X)\ ightarrow GL_r(\\mathbb Z_{\\ell})$ a continuous representation of the \\etale fundamental group of $X$ with image $G$. Any $k$-rational point $x:Spec(k)\ ightarrow X$ induces a local representation $\ ho_x: \\pi_1(Spec(k)) \ ightarrow \\pi_1(X) \ ightarrow GL_r(\\mathbb Z_{\\ell})$ with image $G_x$. The goal of this paper is to study how $G_x$ varies with $x\\in X(k)$. In particular we prove that if $\\ell\ eq p$ and every open subgroup of $\ ho(\\pi_1(X_{\\overline k}))$ has finite abelianization, then the set $X_{\ ho}^{ex}(k)$ of $k$-rational points such that $G_x$ is not open in $G$ is finite and there exists a constant $C\\geq 0$ such that $[G:G_x]\\leq C$ for all $x\\in X(k)-X_{\ ho}^{ex}(k)$. This result can be applied to obtain uniform bounds for the $\\ell$-primary torsion of groups theoretic invariants in one dimensional families of varieties. For example, torsion of abelian varieties and the Galois invariants of the geometric Brauer group. This extends to positive characteristic previous results of Anna Cadoret and Akio Tamagawa in characteristic 0.

연구 동기 및 목표

• 캐도르-타마가와의 특성 0에서의 통일된 개방 이미지 정리를 양의 특성으로 확장하기.
• 국소 갈루아 이미지가 전역 이미지에서 열리지 않는 $k$-유리점들의 집합에 대해 유한성과 인덱스의 통일된 유계성을 확립하기.
• 양의 특성에서의 추상 모듈러 곡선에 대해 리만-허리츠 공식의 야생 정밀성 항을 제어하기.
• 고달리티를 일반화하고, 유계 차수를 가진 점들을 유계화하는 데 도구로 사용하는 이소고달리티를 도입하기.

제안 방법

• 열린 부분군 $U \subseteq \Pi$에 대응하는 연결 에탈레 코팅 $X_U \to X$를 구성함으로써, 추상 모듈러 스킴로 불리는 것을 정의.
• 아나벨리안 사전을 사용하여 $k$-유리점이 $X_U$로 올라가는 것과 $\Pi_x \subseteq U$ 사이의 관계를 설정함으로써 디오파너티 제어를 가능하게 함.
• 리만-허리츠 공식을 적용하여 추상 모듈러 곡선의 종수를 계산함. 이때 양의 특성에서의 야생 정밀성 항을 신중히 다룸.
• [CT12a]의 기법을 일반화하여 종수 계산에서의 야생 분열을 제어함.
• 콤���티피케이션된 코팅의 고달리티와 이소고달리티의 성장을 이용하여 유계 차수를 가진 점들의 수를 유계화함.
• $\Pi_{\overline{k}}$의 리-완전 조건을 활용하여 인덱스 $[\Pi : \Pi_x]$에 대한 통일된 유계를 확보함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 특성에서 $\ell$-adic 표현에 대한 통일된 개방 이미지 정리는 특성 0에서의 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건에서 양의 특성에서 국소 이미지가 열리지 않는 $k$-유리점들의 집합이 유한한가?
• RQ3 양의 특성에서 모듈러 곡선 구성에 있어서 리만-허리츠 공식의 야생 분열은 어떻게 제어할 수 있는가?
• RQ4 이소고달리티가 양의 특성에서 유계 차수를 가진 점들을 유계화하는 데 도구로 고달리티를 대체할 수 있는가?
• RQ5 기하학적 리-완전 조건 하에서 $n \to \infty$일 때, $X_{C\Pi_{\overline{k}}(n)}$의 이소고달리티는 유계가 아닐까?

주요 결과

• 곡선 $X$, 유한 생성 체 $k$, 기하학적으로 리-완전인 표현 $\rho$일 때, 예외적 집합 $X_{\rho}^{ex}(k)$는 유한하다.
• 표현 $\rho$에만 의존하는 정수 $N \geq 1$이 존재하여, 모든 $x \in X_{\rho}^{gen}(k)$에 대해 $[\Pi : \Pi_x] \leq N$이다.
• 추상 모듈러 곡선 $X_U$의 종수가 수준에 따라 증가하므로, 디오파너티 유한성에 의해 유리점에 대한 제어가 가능하다.
• 리만-허리츠 공식의 야생 정밀성 항은 [CT12a]의 기법을 일반화하여 제어된다.
• 이소고달리티 $\gamma^{\text{iso}}_{X_{C\Pi_{\overline{k}}(n)}}$는 $n \to \infty$일 때 무한히 증가하며, 이는 유계 차수를 가진 점들로의 결과 확장을 위한 잠재적 길을 제시한다.
• 결과는 기하학적 브라우어 군과 일차원 가속에서의 아벨 다양체와 같은 불변량의 $\ell$-primary 토파이션에 대해 통일된 유계를 암시한다.