[논문 리뷰] A Universality Theorem for Nested Polytopes

Michael Gene Dobbins, Andreas F. Holmsen외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 06.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 30인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 내재된 다면체 문제(Nested Polytope Problem, NPP)에 대한 보편성 정리(uni-versality theorem)를 수립하며, 임의의 유계 실대수대수다양체가 어떤 NPP 인스턴스의 정규화된 해공간과 유리적 동치(rational equivalence)임을 증명한다. 핵심 결과는 NPP가 ∃ℝ-완비임을 보여주며, 이는 존재론적 실수 이론(existential theory of the reals)과 알고리즘적으로 동일한 난이도를 가짐을 의미한다. 증명은 다층 다면체의 기하적 구성 기법을 사용하여 다항식 체계를 유리적 동치를 통해 시뮬레이션한다.

ABSTRACT

In a nutshell, we show that polynomials and nested polytopes are topological, algebraic and algorithmically equivalent. Given two polytops $A\subseteq B$ and a number $k$, the Nested Polytope Problem (NPP) asks, if there exists a polytope $X$ on $k$ vertices such that $A\subseteq X \subseteq B$. The polytope $A$ is given by a set of vertices and the polytope $B$ is given by the defining hyperplanes. We show a universality theorem for NPP. Given an instance $I$ of the NPP, we define the solutions set of $I$ as $$ V'(I) = \{(x_1,\ldots,x_k)\in \mathbb{R}^{k\cdot n} : A\subseteq ext{conv}(x_1,\ldots,x_k) \subseteq B\}.$$ As there are many symmetries, induced by permutations of the vertices, we will consider the \emph{normalized} solution space $V(I)$. Let $F$ be a finite set of polynomials, with bounded solution space. Then there is an instance $I$ of the NPP, which has a rationally-equivalent normalized solution space $V(I)$. Two sets $V$ and $W$ are rationally equivalent if there exists a homeomorphism $f : V ightarrow W$ such that both $f$ and $f^{-1}$ are given by rational functions. A function $f:V ightarrow W$ is a homeomorphism, if it is continuous, invertible and its inverse is continuous as well. As a corollary, we show that NPP is $\exists \mathbb{R}$-complete. This implies that unless $\exists \mathbb{R} =$ NP, the NPP is not contained in the complexity class NP. Note that those results already follow from a recent paper by Shitov. Our proof is geometric and arguably easier.

연구 동기 및 목표

• 내재된 다면체 문제(NPP)에 대한 보편성 정리를 수립하여, NPP 인스턴스의 해공간이 임의의 유계 실대수다양체를 실현할 수 있음을 보여주기.
• 실수 위에서의 존재문장(existential sentences)의 해공간과 NPP의 해공간 사이에 유리적 동치(rational equivalence)를 구축함으로써 NPP가 ∃ℝ-완비임을 보여주기.
• 기하적이고 구성적인 방법으로 NPP에 대한 ∃ℝ-완비성의 증명을 제시하여 이전의 대수적 증명에 대한 대안을 제공하기.
• 특히 NP와 존재론적 실수 이론과의 관계에서 NPP의 알고리즘 복잡도를 명확히 하기.
• 이 결과가 매개변수 복잡도와 실용적 해법(예: 정수계획법 기반 알고리즘 포함)에 미치는 영향을 탐색하기.

제안 방법

• 다음 두 집합의 볼록결합으로 다면체 $ B $를 구성하기: $ U = \{u_{i,k}\} $ 및 $ V = \{v_{i,j}\} $, 이는 $ \mathbb{R}^{2+n+m} $ 내에서 애핀 좌표로 정의되며, $ B $가 전차원적 볼록다면체임을 보장하는 조건을 포함한다.
• 해공간을 표현하는 내부 다면체 $ A $를 점 $ y_{i,j}, z_{i,j}, p_{i,j,k}, q_{i,j,k,l}, r_{i,j,k} $ 를 사용하여 정의하며, 이는 환경 공간 내에서 애핀 조합을 통해 다항식 방정식을 인코딩한다.
• 다항식 방정식의 해인 $ \alpha_{i,j} $ 를 사용하여, $ x_{i,j} = v_{0,j} + (1 + \alpha_{i,j})(v_{i,j} - v_{0,j}) $ 를 만족하는 유리 사상 $ f: V(I) \to V(J) $ 를 정의한다.
• 연속적이고 가역적인 사상으로 구성된 유리적 동치를 통해 NPP의 정규화된 해공간 $ V(I) $ 와 주어진 유계 다항식 체계 $ F $ 의 해다양체 $ V(F) $ 를 연결한다. 이 사상은 모두 유리 함수 성분을 가진다.
• 유리적 동치가 위상적, 대수적, 알고리즘적 성질을 유지함을 활용하며, 특히 다항식 시간 감소에 의한 복잡도도 유지됨을 이용한다.
• 내재된 다면체의 정점 배치에 대한 기하적 제약 조건을 다항식 제약 조건으로 인코딩하는 감소 기법을 통해, NPP 인스턴스가 존재론적 실수 이론(ETR)의 임의의 인스턴스를 시뮬레이션할 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 유계 실대수다양체가 내재된 다면체 문제(NPP)의 어떤 인스턴스의 정규화된 해공간으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 NPP는 ∃ℝ-완비인가? 즉, 존재론적 실수 이론의 전체 복잡도를 포괄하는가?
• RQ3 내재된 다면체의 기하적 구성이 유리적 동치를 통해 임의의 다항식 체계를 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ4 NPP는 NP에 속하는가, 아니면 ∃ℝ-완비성에 의해 지적되는 바와 같이 더 어려운가?
• RQ5 고도의 복잡도에도 불구하고, 정수계획법 기반 알고리즘과 같은 실용적 알고리즘이 NPP에 효과적으로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 NPP 인스턴스의 해공간 $ V(I) $ 는 유계 다항식 체계의 해다양체 $ V(F) $ 와 유리적 동치이다. 즉, 이들 사이에 유리역함수를 가지는 위상동형사상이 존재한다.
• NPP는 ∃ℝ-완비이며, ∃ℝ = NP 가 성립하지 않는 한 문제는 NP에 속하지 않으며, 따라서 NP-완비 문제보다 엄밀히 더 어렵다.
• 증명은 고정된 점들의 애핀 조합을 사용하여 임의의 유계 대수다양체를 내재된 다면체 인스턴스의 정규화된 해공간으로 기하적으로 실현한다.
• 이 구성은 각 해점이 고정된 선분 위에 위치하도록 보장하며, 점들의 순서는 전체 순서(total order)로 고정되어 있어 해공간이 $ \mathbb{R}^{kn} $ 에 임베딩될 수 있다.
• 다항식 체계의 해에서 NPP 해로의 사상은 선형 단사함수이며, 그 역함수 역시 유리 함수이므로 유리적 동치가 확인된다.
• 결과적으로 내재된 다면체는 실대수다양체와 대수적, 위상적, 알고리즘적으로 동치이며, 기하복잡도이론에서 보편성 결과를 확립한다.