[논문 리뷰] A van der Corput lemma and weak mixing over groups

Conrad Beyers, Rocco Duvenhage외 1명|ArXiv.org|2005. 12. 02.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 아벨(second countable) 위상군 위에서 불변 측도를 지닌 측도를 보존하는 동역계에 대해, 이러한 군 위의 힐버트 공간 값 함수에 대한 일반화된 반 데르 코르푸트 보조정리(lemma)를 사용하여 모든 차수의 약한 혼합성(weak mixing)을 확립한다. 주요 기여는 $M$-약한 혼합성(relative to a uniformly space-filling net)이 군의 준동형사상들이 서로 다를 때 및 이동성(translational)일 경우, 모든 차수의 약한 혼합성을 유도한다는 것을 증명하는 것이다.

ABSTRACT

We study weak mixing of all orders for weakly mixing measure preserving dynamical systems, where the dynamics is given by the action of an abelian second countable topological group which has an invariant measure under the group operation. One of the main technical tools we use is a van der Corput lemma for Hilbert space valued functions on a second countable topological group.

연구 동기 및 목표

• 모든 차수의 약한 혼합성 개념을 $\mathbb{Z}$와 $\mathbb{R}$를 초월하여 더 일반적인 아벨(second countable) 위상군과 불변 측도를 지닌 군에 대해 확장한다.
• 이러한 군 위의 힐버트 공간 값 함수에 대한 반 데르 코르푸트 보조정리를 중심 기술 도구로 개발한다.
• 불변 평균에 의존하지 않는 직접적인 일반화인 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N$ 평균 형태를 제공한다.
• $M$-약한 혼합성이 군의 준동형사상들을 통해 모든 차수의 약한 혼합성을 유도하는 조건을 확립한다.
• 서로 다른 준동형사상들을 포함하는 다중 에르고딕 평균의 수렴을 통해 모든 차수의 약한 혼합성을 특성화한다.

제안 방법

• 두 번째 가чёт성(second countable) 위상군 위의 힐버트 공간 값 함수에 대한 일반화된 반 데르 코르푸트 보조정리를 오른쪽 불변 측도를 사용하여 도입한다.
• 공간을 균일하게 메우는 넷(공간을 균일하게 메우는 Følner 넷)과 균일하게 공간을 메우는 넷을 정의하여 $\mathbb{Z}$와 $\mathbb{R}$를 초월한 평균화 과정을 일반화한다.
• $L^2$-노름 수렴 $\frac{1}{\mu(\Lambda_n)}\int_{\Lambda_n} u_g \, dg$ 를 사용하여 약한 혼합성 행동을 분석한다.
• 일반화된 반 데르 코르푸트 보조정리를 사용하여 서로 다른 준동형사상들을 포함하는 다중 상관 평균의 노름을 제어한다.
• 상관의 집합 수에 대한 귀납법을 사용하여 모든 차수의 약한 혼합성을 증명한다.
• $\{\Lambda_n^{-1}\Lambda_n\}$ 가 균일하게 공간을 메운다는 조건을 사용하여 필요한 수렴 성질을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측도를 보존하는 군 작용이 확률 공간 위에서 균일하게 공간을 메우는 넷에 대해 $M$-약한 혼합성을 가지면, 어떤 조건에서 모든 차수의 약한 혼합성이 유도되는가?
• RQ2 기존의 반 데르 코르푸트 보조정리는 아벨(second countable) 위상군과 불변 측도를 지닌 군 위의 힐버트 공간 값 함수에 대해 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 약한 혼합성의 모든 차수를 보장하는 데 있어 준동형사상 집합 $M$ 의 구조는 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 $M$-약한 혼합성의 가정이 $\{\Lambda_n^{-1}\Lambda_n\}$ 에 대해 제거되거나 다른 균일하게 공간을 메우는 수열로 대체될 수 있는가?
• RQ5 표준적인 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N$ 형태는 비아벨 또는 비이산 군 작용으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 측도를 보존하는 시스템이 균일하게 공간을 메우는 넷 $\{\Lambda_n\}$ 에 대해 $M$-약한 혼합성을 가지면, $M$ 내 서로 다른 준동형사상들에 대해 모든 차수의 약한 혼합성이 성립함을 증명한다.
• 일반화된 반 데르 코르푸트 보조정리(정리 2.7′)는 적절한 조건 하에서 $\lim_{n\to\infty}\left\|\frac{1}{\mu(\Lambda_n)}\int_{\Lambda_n} u_g \, dg\right\|_{L^2} = 0$ 를 보장하여 다중 상관의 제어를 가능하게 한다.
• $G = \mathbb{Z}$ 이고 $\Lambda_n = \{-n,\dots,n\}$ 이면, 시스템이 $\{\Lambda_n\}$ 에 대해 약한 혼합성을 가지면 모든 차수의 약한 혼합성이 성립하며, 이는 고전적 결과를 복원한다.
• $G = \mathbb{R}^q$ 이고 $\Lambda_m$ 이 반지름 $m$ 인 열린 구를 뜻하면, $\Lambda_m^{-1}\Lambda_m = \Lambda_{2m}$ 이 되어 정리 4.4의 조건을 만족하는 균일하게 공간을 메우는 넷이 된다.
• $\{\Lambda_n^{-1}\Lambda_n\}$ 이 균일하게 공간을 메운다면, 추론 3.10에 의해 $M$-약한 혼합성에 대한 가정을 제거할 수 있다.
• $M$ 이 $\mathbb{R}^q$ 에 작용하는 영이 아닌 대각선 $q\times q$ 행렬의 집합인 경우에도 결과는 적용 가능하며, 이들은 이동성 준동형사상 집합을 이룬다. 따라서 모든 차수의 약한 혼합성이 보장된다.