[논문 리뷰] A variant of the prime number theorem

Kui Liu, Jie Wu외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 23.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정수 부분 함수 $ x/n $ 에 대해 von Mangoldt 함수를 평균화한 소수 정리의 변종에서 새로운 오차 항을 확립한다. Vaaler의 항등식과 고급 지수 합 기법을 사용하여 3차원 지수 합의 추정치를 정교화함으로써, 저자들은 오차 지수를 이전의 $ 97/203 \approx 0.4778 $ 에서 $ 9/19 \approx 0.4736 $ 으로 향상시켰으며, $ O_{\varepsilon}(x^{9/19 + \varepsilon}) $ 를 얻었다. 이는 이 수학적 평균화 문제에서 이전 결과를 정량적으로 개선한 것이다.

ABSTRACT

Let $Λ(n)$ be the von Mangoldt function, and let $[t]$ be the integral part of real number $t$. In this note, we prove that for any $\varepsilon>0$ the asymptotic formula $$ \sum_{n\le x} Λ\Big(\Big[\frac{x}{n}\Big]\Big) = x\sum_{d\ge 1} \frac{Λ(d)}{d(d+1)} + O_{\varepsilon}\big(x^{9/19+\varepsilon}\big) \qquad (x o\infty)$$ holds. This improves a recent result of Bordellès, which requires $\frac{97}{203}$ in place of $\frac{9}{19}$.

연구 동기 및 목표

• 정수 부분 함수 $ \left\lfloor \frac{x}{n}\right\rfloor $ 에 대해 von Mangoldt 함수의 합에 대한 점근 공식에서 오차 항을 개선하는 것.
• Bordellès가 확립한 $ 97/203 $ 의 경계를 넘어서 오차 항의 지수를 더욱 정교화하는 것.
• 특히 3차원에서의 지수 합 추정치를 적용하여 더 날카로운 오차 추정치를 도출하는 것.
• 기존의 고전적 지수 쌍 가설의 결과, 심지어 리만 가설 가정 하에서도 $ 9/19 $ 의 새로운 지수가 더 우월함을 보여주는 것.
• 구조적 수열에서 소수 분포에 대한 이해를 향상시키기 위해 $ \Lambda $ 의 합에 대한 더 날카로운 점근 공식을 제공하는 것.

제안 방법

• Vaughan의 항등식을 사용하여 합 $ \sum_{D < d \leq 2D} \Lambda(d) g(d) $ 를 타입 I 및 타입 II 합으로 분해함으로써 지수 합에 대한 더 정교한 제어를 가능하게 한다.
• 디오판틴 부등식에 대한 일반화된 레마 2.1의 결과로부터 유도된 새로운 3차원 지수 합 $ \mathfrak{S}_{\delta,3} $ 에 대한 추정치를 도입한다.
• 분수 부분 함수 $ \psi(t) = \{t\} - 1/2 $ 를 위한 Vaaler의三角함수 다항식 근사법을 적용하여 오차 항을 지수 합 추정치로 효과적으로 다룰 수 있도록 한다.
• 에르미트의 구간 분할 기법을 활용하여 $ H $, $ M $, $ N $, $ D $ 등의 매개변수를 다이adic 간격에 걸쳐 최적화하여 합 분해에서 경쟁하는 오차 항들을 균형 잡는다.
• 문헌 [1] 및 [5] 에서의 3차원 및 2차원 지수 합 추정치를 조합하여 $ S_2(x) $ 의 총 오차를 지배하는 복합 오차 항을 도출한다.
• 합에 대한 다이adic 분할을 적용하여 $ d $ 의 범위 $ N < d \leq x/N $ 을 다이adic 간격 $ D_j = x/(2^j N) $ 로 분할하고, 각각에 대해 주요 추정치를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 정리의 변종에 대한 점근 공식에서 $ \sum_{n \leq x} \Lambda\left(\left\lfloor \frac{x}{n}\right\rfloor\right) $ 의 오차 항은 현재 알려진 지수 $ 97/203 $ 을 초월하여 개선될 수 있는가?
• RQ2 다음과 같은 형태의 최적의 지수 $ \theta $ 는 무엇인가? $ \sum_{n \leq x} \Lambda\left(\left\lfloor \frac{x}{n}\right\rfloor\right) = x \sum_{d \geq 1} \frac{\Lambda(d)}{d(d+1)} + O_{\varepsilon}(x^{\theta + \varepsilon}) $
• RQ3 이 맥락에서 3차원 지수 합 추정치가 2차원 추정치보다 더 낮은 오차 bound 를 제공할 수 있는가?
• RQ4 현재의 해석적 수론 기법 하에서 지수 $ 9/19 $ 이 최적인지, 특히 리만 가설 하에서의 결과와 비교하여 확인할 수 있는가?
• RQ5 지수 합 기법과 Vaaler의 항등식을 조합하여 $ \Lambda(n) $ 이외의 다른 산술 함수에도 체계적으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 저자들은 점근 공식 $ \sum_{n \leq x} \Lambda\left(\left\lfloor \frac{x}{n}\right\rfloor\right) = x \sum_{d \geq 1} \frac{\Lambda(d)}{d(d+1)} + O_{\varepsilon}(x^{9/19 + \varepsilon}) $ 을 확립하였으며, 이는 이전에 알려진 최고의 지수 $ 97/203 \approx 0.4778 $ 보다 향상된 결과이다.
• 새로운 오차 지수 $ 9/19 \approx 0.4736 $ 는 $ 97/203 $ 보다 엄밀히 작으며, 오차 항의 성장률 향상에 있어 비트리비얼한 개선을 나타낸다.
• 이 개선은 특히 오차 합에서 지배적인 역할을 하는 $ \mathfrak{S}_{\delta,3} $ 에 대한 새로운 추정치를 통한 3차원 지수 합의 정교한 분석을 통해 달성되었다.
• 논문은 리만 가설에 의존하지 않으며, Ma와 Wu의 결과에서 유도된 $ 35/71 \approx 0.493 $ 의 경계보다도 더 낮은 지수를 도출했고, 심지어 지수 쌍 가설 하에서의 $ 28/59 \approx 0.4745 $ 의 경계를 초월하는 성능을 보였다.
• 선택된 $ N = x^{9/19} $ 에 대해 오차 항 $ S_1(x) $ 와 $ S_2(x) $ 가 균형을 이루며 총 오차가 $ O_{\varepsilon}(x^{9/19 + \varepsilon}) $ 으로 최적화됨을 확인하였다.
• 분석 결과 3차원 지수 합 추정치가 오차에서 지배적인 역할을 하며, 그 최적화가 최종 오차 bound 를 이끌었다. 나머지 항들은 주 오차에 흠뻑 흠뻑 흠뻑 흡수되었다.