[논문 리뷰] A variant of van Hoeij's algorithm to compute hypergeometric term solutions of holonomic recurrence equations

Bertrand Teguia Tabuguia|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 21.

Polynomial and algebraic computation인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 고차원 선형 재귀 방정식의 초함수항 해를 계산하기 위한 van Hoeij 알고리즘의 변종을 제시한다. 기존의 감마 함수 대신 계승과 시프트된 계승 표현을 사용하며, 원래 van Hoeij 알고리즘과 동일한 효율성을 유지하면서도 기호 계산 및 멱급수 표현에 더 적합한 출력을 생성한다. 또한 Maple의 LREtools[hypergeomsols]가 대수적 수 처리에서 버그로 인해 실패하는 경우에도 성공적으로 처리할 수 있다.

ABSTRACT

Linear homogeneous recurrence equations with polynomial coefficients are said to be holonomic. Such equations have been introduced in the last century for proving and discovering combinatorial and hypergeometric identities. Given a field K of characteristic zero, a term a(n) is called hypergeometric with respect to K, if the ratio a(n+1)/a(n) is a rational function over K. The solutions space of holonomic recurrence equations gained more interest in the 1990s from the well known Zeilberger's algorithm. In particular, algorithms computing the subspace of hypergeometric term solutions which covers polynomial, rational, and some algebraic solutions of these equations were investigated by Marko Petkov\v{s}ek (1993) and Mark van Hoeij (1999). The algorithm proposed by the latter is characterized by a much better efficiency than that of the other; it computes, in Gamma representations, a basis of the subspace of hypergeometric term solutions of any given holonomic recurrence equation, and is considered as the current state of the art in this area. Mark van Hoeij implemented his algorithm in the Computer Algebra System (CAS) Maple through the command $LREtools[hypergeomsols]$. We propose a variant of van Hoeij's algorithm that performs the same efficiency and gives outputs in terms of factorials and shifted factorials, without considering certain recommendations of the original version. We have implementations of our algorithm for the CASs Maxima and Maple. Such an implementation is new for Maxima which is therefore used for general-purpose examples. Our Maxima code is currently available as a third-party package for Maxima. A comparison between van Hoeij's implementation and ours is presented for Maple 2020. It appears that both have the same efficiency, and moreover, for some particular cases, our code finds results where $LREtools[hypergeomsols]$ fails.

연구 동기 및 목표

• 감마 함수가 아닌 계승과 시프트된 계승을 사용하여 출력되는 더 실용적인 van Hoeij 알고리즘의 변종을 개발하기 위해.
• 기본 필드 K 위에서 직접 작업함으로써 감마 함수 표현에 의존하지 않고, Maxima 및 향후 CAS와의 호환성을 향상시키기 위해.
• 대수적 수와 유리 함수를 처리할 때 Maple의 LREtools[hypergeomsols]에 알려진 버그를 해결하기 위해.
• 기존 구현이 실패하는 경우에도 고차원 선형 재귀 방정식에 대한 초함수항 해를 신뢰성 있게 계산할 수 있도록 하기 위해.
• 초함수항 해를 통해 고차원 함수의 멱급수 표현을 구성할 수 있도록 지원하기 위해.

제안 방법

• 원래 van Hoeij 알고리즘에서 사용하는 뉴턴 다각형 접근 방식을 대체하기 위해, Petkovšek의 Poly 방법에 영향을 받은 渐近 전개 기법을 사용하여 무한대에서의 국소 유형을 계산한다.
• 초함수항 h(n)을 계승과 Pochhammer 기호 (p)_n의 곱으로 구성하며, 유일성을 확보하기 위해 (0,1] 구간에 정규화한다.
• 유한한 특이점은 P0(n)과 Pd(n−d)의 정수 모듈로 근을 분석하여 처리하며, 해 구조에 포함된 값의 성장 조건을 정확히 포착한다.
• 다항계수를 정수 모듈로에 대해 모닉 인수분해함으로써, 유한한 특이점에서의 값의 성장 조건을 자동으로 통합한다.
• 기본 필드 K 위에서 직접 작업함으로써 불필요한 체 확장을 피하고, 효율성을 유지하며 계산 오버헤드를 줄인다.
• Maxima(제3자 패키지 형태로)와 Maple에 대한 구현이 제공되며, 渐近 전개의 간소화 및 순서 제어에 주의를 기울였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 van Hoeij 알고리즘의 변종을 설계하여 계승과 Pochhammer 기호 형태의 초함수항 해를 계산하면서도 계산 효율성을 손상시키지 않을 수 있는가?
• RQ2 Maple의 LREtools[hypergeomsols]가 대수적 수를 포함한 일부 재귀 방정식에서 왜 실패하는가? 이는 재설계된 알고리즘으로 해결될 수 있는가?
• RQ3 새로운 알고리즘이 극한 케이스를 처리할 때 원래 van Hoeij 알고리즘 및 기타 CAS 도구와 비교해 성능가능한가?
• RQ4 기존 구현의 내부 버그나 제약으로 인해 놓치는 해들을 신규 알고리즘이 어느 정도 복구할 수 있는가?
• RQ5 계승 기반 표현의 사용이 기호 멱급수 계산에서 초함수항 해의 신뢰성과 사용성 향상에 기여할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 원래 van Hoeij 알고리즘과 동일한 효율성을 달성하며, 일부 벤치마크에서 유사하거나 약간 더 뛰어난 성능을 보였다.
• Maxima에 구현된 알고리즘이 Maple의 LREtools[hypergeomsols]가 실패하는 경우, 특히 대수적 수를 포함한 케이스에서 성공적으로 해를 계산하였다.
• 알고리즘은 √7나 ln(x)와 같은 무리수 또는 대수적 계수를 포함한 재귀 방정식에 대해 초함수항 해를 정확히 계산할 수 있었으며, 이는 Maple의 내부 명령어가 실패하는 경우였다.
• Maple의 LREtools[hypergeomsols]는 재귀 깊이 오류와 RootOf 표현의 잘못된 처리로 인해 대수적 수를 포함한 예제에서 실패하며, 이는 새로운 알고리즘이 피한다.
• 새로운 알고리즘은 더 사용자 친화운 기호 형태인 계승과 Pochhammer 기호로 출력을 생성하여, 멱급수 및 m-중 초함수항 표현 구축에 직접적으로 적합하다.
• 구현은 복잡한 케이스, 예를 들어 혼합 초함수수열과 기호 매개변수를 포함한 경우에도 강건성을 입증하였으며, 이는 van Hoeij 방법과 이론적으로 동치임을 확인한다.