[논문 리뷰] A variational approach to second order mean field games with density constraints: The stationary case

Alpár R. Mészáros, Francisco J. Silva|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 20.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 45인용 수 57

한 줄 요약

이 논문은 유계 영역에서 밀도 제약 조건(m ≤ 1 거의 everywhere)이 있는 두 번째 차수 정적 평균장게임 시스템에 대한 약한 해의 존재성을 변분 접근법을 통해 증명한다. 베나무-브레니에 유형의 함수를 포함하는 볼록 최적화 문제로 문제를 재구성함으로써, 임의의 성장 차수 q′을 갖는 거칠기형 해밀토니안에 대해 존재성을 입증하며, 소볼레프 정규성, 초미분 연산법, 그리고 표준 조건 부족 시 적용 가능한 근사 기법을 활용한다.

ABSTRACT

In this paper we study second order stationary Mean Field Game systems under density constraints on a bounded domain $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^d$. We show the existence of weak solutions for power-like Hamiltonians with arbitrary order of growth. Our strategy is a variational one, i.e. we obtain the Mean Field Game system as the optimality condition of a convex optimization problem, which has a solution. When the Hamiltonian has a growth of order $q' \\in ]1, d/(d-1)[$, the solution of the optimization problem is continuous which implies that the problem constraints are qualified. Using this fact and the computation of the subdifferential of a convex functional introduced by Benamou-Brenier, we prove the existence of a solution of the MFG system. In the case where the Hamiltonian has a growth of order $q'\\geq d/(d-1)$, the previous arguments do not apply and we prove the existence by means of an approximation argument.

연구 동기 및 목표

• 모든 곳에서 거의 everywhere(m ≤ 1)인 밀도 제약 조건 하에 두 번째 차수 정적 평균장게임 시스템에 대해 약한 해의 존재성을 엄밀히 증명하는 것.
• 베나무-브레니에 유형의 함수를 포함하는 볼록 최소화 문제의 최적성 조건으로서 MFG 시스템을 재구성하는 변분 프레임워크를 개발하는 것.
• 기존 존재성 결과를 표준 조건이 실패하는 임계 경우 q′ ≥ d/(d−1)를 포함한 임의의 성장 차수 q′을 갖는 해밀토니안으로 확장하는 것.
• 최적화 문제의 비엄격 볼록성 및 비미분 가능성을 고려하여 정규화 및 근사 기법을 도입하는 것.

제안 방법

• 현재 벡터 w의 Lq노름과 에너지 항 F(x,m)를 포함하는 볼록 최소화 문제의 최적성 조건으로 MFG 시스템을 설정하며, 연속성 방정식과 밀도 제약 조건을 수반한다.
• 변분법의 직접 방법을 사용하여 q > d인 W1,q(Ω) × Lq(Ω)d에서 최소화자 (m,w)의 존재성을 증명한다.
• q > d일 때 W1,q(Ω) ↪ C(Ω)의 포함관계를 활용하여 m의 연속성을 확보함으로써 최적화 문제의 제약 조건 적합성 조건을 확보한다.
• 베나무-브레니에가 도입한 볼록 함수기반 초미분 연산법을 적용하여 쌍대 변수 (u, λ, µ, p)를 유도하고, MFG 시스템을 약한 형태로 유도한다.
• 임계 경우 q′ ≥ d/(d−1)에서는 해밀토니안을 정규화하고 ε > 0을 사용한 근사 기법을 적용하며, 소볼레프 공간과 르베그 공간에서 약한 수렴 및 거의 everywhere 수렴을 통해 해의 수렴성을 증명한다.
• 콤���터성 추론(파르코의 부등식, 소볼레프 포함관계)과 W1,q′(Ω) 및 Lq(Ω)d에서의 약한 수렴을 활용하여 수렴하는 부분수열을 추출하고, 정규화된 시스템에서 극한으로 넘어가는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도 제약 조건 m ≤ 1 거의 everywhere이 있는 정적 두 번째 차수 MFG 시스템에 대해 변분 접근법을 사용하여 약한 해의 존재성을 증명할 수 있는가?
• RQ2 표준 조건이 실패하는 해밀토니안 성장 차수 q′ ≥ d/(d−1)인 경우 존재성 이론에는 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 밀도 제약 조건이 존재하는 상황에서 베나무-브레니에 유형의 함수의 초미분은 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ4 MFG 시스템의 라그랑주 승수 µ와 p는 비미분 가능한 경우에도 각각 {m=0}과 {m=1}에 지지된 측도로 해석될 수 있는가?

주요 결과

• 성장 차수 q′ ∈ (1, d/(d−1))인 거칠기형 해밀토니안에 대해 볼록 최적화 문제의 해 (m,w)는 연속적이며, 이는 제약 조건 적합성 조건을 보장하고 초미분 연산법의 직접 적용을 가능하게 한다.
• 분포의 의미에서 MFG 시스템 (MFGq)의 약한 해 (u, m, λ, µ, p)의 존재성이 입증되며, µ와 p는 각각 {m=0}과 {m=1}에 지지된 음이 아닌 측도로 표현된다.
• 임계 경우 q′ ≥ d/(d−1)에서는 정규화된 해밀토니안을 사용한 근사 기법을 통해 존재성을 확립하며, 해 (uε, mε, wε)가 W1,q′(Ω) × W1,q(Ω) × Lq(Ω)d에서 극한 (u, m, w)로 수렴함을 보였다.
• 극한 시스템은 약한 형태로 MFG 방정식을 만족하며, 첫 번째 방정식은 측도값 함수 ρ = γ − (1/q′)|∇u|q′dx를 포함하고, 최종 부등식 (5.3)은 약한 집중 성질 ⟨µ − p, m⟩ ≤ 0을 암시한다.
• 논문은 쌍대 변수 p가 제약 조건 m ≤ 1에 대한 라그랑주 승수로 작용하며, 그 지지 집합이 {m = 1}에 포함됨을 증명한다. 또한 µ는 {m = 0}에 지지된다.
• 표준 PDE 추정이 실패하는 경우에도 볼록 쌍대성과 근사 기법에 의존함으로써 변분 접근법이 여전히 유효함을 분석이 확인한다.