[논문 리뷰] A variational non-linear constrained model for the inversion of FDEM data

Alessandro Buccini, Patricia Díaz de Alba|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 01.

Geophysical and Geoelectrical Methods참고 문헌 24인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 주파수 도메인 전자기(FDEM) 데이터 역설계를 위한 변분 비선형 제약 모델을 제안하며, 전도도 재구성에서 노이즈에 의한 '스플리싱'(splicing)을 억제하기 위해 수직 프로파일을 결합한다. 0 < q ≤ 2 인 ℓ2−ℓq 기능을 최소화하고 비음성 제약 조건을 적용함으로써 전도도 모델의 라플라시안에서 희소성을 촉진하여, 노이즈 조건에서도 안정적이고 정확한 해를 보장한다. 합성 및 실세계 데이터에서 최신 기법들에 비해 뛰어난 성능을 입증하였다.

ABSTRACT

Reconstructing the structure of the soil using non-invasive techniques is a very relevant problem in many scientific fields, like geophysics and archaeology. This can be done, for instance, with the aid of Frequency Domain Electromagnetic (FDEM) induction devices. Inverting FDEM data is a very challenging inverse problem, as the problem is extremely ill-posed, i.e., sensible to the presence of noise in the measured data, and non-linear. Regularization methods substitute the original ill-posed problem with a well-posed one whose solution is an accurate approximation of the desired one. In this paper we develop a regularization method to invert FDEM data. We propose to determine the electrical conductivity of the ground by solving a variational problem. The minimized functional is made up by the sum of two term: the data fitting term ensures that the recovered solution fits the measured data, while the regularization term enforces sparsity on the Laplacian of the solution. The trade-off between the two terms is determined by the regularization parameter. This is achieved by minimizing an $\ell_2 - \ell_q$ functional with $0 < q \leq 2$. Since the functional we wish to minimize is non-convex, we show that the variational problem admits a solution. Moreover, we prove that, if the regularization parameter is tuned accordingly to the amount of noise present in the data, this model induces a regularization method. Some selected numerical examples on synthetic and real data show the good performances of our proposal.

연구 동기 및 목표

• FDEM 데이터로부터 지하 전도도를 재구성하는 불안정한 비선형 역문제를 해결한다.
• 노이즈로 인해 발생하는 분리된 프로파일 처리로 인해 기존의 일차원 역설계 방법에서 나타나는 '스플리싱' 아티팩트를 극복한다.
• 이웃한 수직 전도도 프로파일을 연결함으로써 안정성과 수렴성을 보장하는 정규화 방법을 개발한다.
• 비음성 제약 조건이 있는 비선형 역문제에서 ℓ2−ℓq 최소화의 이론적 기초를 확립한다.
• 합성 및 실세계 FDEM 데이터에 적용하여 본 방법의 효과성을 입증한다. 재구성 정확도 향상이 확인된다.

제안 방법

• 데이터 적합도(ℓ2 노름)와 전도도의 라플라시안에 대한 ℓq-노름 정규화를 조합한 기능을 최소화하는 변분 문제로 역설계를 공식화한다.
• 2차원 지반을 수평 방향으로 독립된 1D 프로파일을 겹쳐 놓은 행렬 Σ ∈ ℝ^{n×N}로 이산화 모델링한다.
• L이 이산 라플라시안일 때, D = L ⊗ I + I ⊗ L 행렬을 통해 고차수의 토탈 변동성 유사 정규화를 적용하여 기울기의 공간적 스무스함과 희소성을 강제한다.
• 물리적 현실을 반영하기 위해 Σ에 음성 제약 조건을 적용한다.
• 선형 문제에 대한 이전 방법을 확장한 수정된 반복 알고리즘을 사용하여 비볼록 최적화 문제를 해결한다.
• 노이즈 수준에 따라 정규화 파rameter γ를 조정하여 정규화 성질과 수렴성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수평적 결합을 통한 수직 FDEM 프로파일이 노이즈로 인한 전도도 재구성에서의 '스플리싱' 아티팩트를 상당히 감소시킬 수 있는가?
• RQ2 0 < q ≤ 2 인 ℓ2−ℓq 최소화가 비선형 FDEM 역설계에 대해 안정적이고 수렴 가능한 정규화 방법을 제공하는가?
• RQ3 합성 및 실세계 FDEM 데이터에 적용했을 때, 제안된 모델은 기존의 일차원 역설계 방법보다 정확도가 높은가?
• RQ4 ℓq 파rameter(q ∈ (0,2])를 변화시켰을 때 재구성 품질과 기울기의 희소성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 선형 역문제에서의 ℓ2−ℓq 정규화 성질이 비선형 역문제로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 합성 데이터에서 제안된 방법은 [14]에서 제시한 최신 기법 대비 상대 재구성 오차(RRE)를 최대 30% 감소시켰으며, 테스트 1에서 RRE는 0.554에서 0.378로 감소하였다.
• 몰렌타르기 사암지구 공원의 실세계 데이터에서 제안된 방법은 '스플리싱' 아티팩트가 없는 재구성을 생성했으며, 반면 [14]의 방법은 여러 위치에서 눈에 띄는 스플리싱을 보였다.
• 제안된 알고리즘의 재구성은 물의 표면면을 명확히 포착한 반면, [14] 방법은 더 조각나고 일관성 없는 이미지를 생성하였다.
• 100×200 합성 모델에서 제안된 방법은 RRE 0.36258을 달성하였으며, [14]가 얻은 0.93571보다 훨씬 낮아 고차원 설정에서도 강건함을 입증하였다.
• 이론적 분석을 통해 변분 문제가 해를 가지며, 파rameter γ가 노이즈 수준에 맞게 조정될 경우 정규화가 유도됨을 확인하였다.
• 수치 결과는 q = 0.1로 설정할 경우 전도도 모델의 라플라시안에서 희소성이 향상되어 더 뛰어난 재구성 품질을 얻을 수 있음을 보여주었다.