[논문 리뷰] A Variety Containing EMV-Algebras and Pierce Sheaves

Anatolij Dvurečenskij, Omid Zahiri|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 09.

Advanced Algebra and Logic인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 EMV-대수의 비폐쇄성 문제를 해결하기 위해 ⊖이라는 유도된 이항 연산을 추가한 새로운 대수의 다양체인 wEMV-대수를 도입한다. 이로 인해 EMV-대수의 다양체가 아닌 클래스를 포함하는 다양체 wEMV가 형성된다. 주요 기여는 wEMV 다양체가 EMV-대수로부터 유도된 모든 관련 wEMV-대수를 포함하는 최소 부분다양체임을 증명하고, 최대 원소가 없는 진정한 EMV-대수에 대해 피어스 셰이프 표현을 수립하는 것이다.

ABSTRACT

According to \cite{Dvz}, we know that the class of all EMV-algebras, $\mathsf{EMV}$, is not a variety, since it is not closed under the subalgebra operator. The main aim of this work is to find the least variety containing $\mathsf{EMV}$. For this reason, we introduced the variety $\mathsf{wEMV}$ of wEMV-algebras of type $(2,2,2,2,0)$ induced by some identities. We show that, adding a derived binary operation $\ominus$ to each EMV-algebra $(M;\vee,\wedge,\oplus,0)$, we extend its language, so that $(M;\vee,\wedge,\oplus,\ominus,0)$, called an associated wEMV-algebra, belongs to $\mathsf{wEMV}$. Then using the congruence relations induced by the prime ideals of a wEMV-algebra, we prove that each wEMV-algebra can be embedded into an associated wEMV-algebra. We show that $\mathsf{wEMV}$ is the least subvariety of the variety of wEMV-algebras containing $\mathsf{EMV}$. Finally, we study Pierce sheaves of proper EMV-algebras.

연구 동기 및 목표

• EMV-대수가 부분대수에 대해 닫혀 있지 않아 다양체를 이루지 못하는 문제를 해결한다.
• EMV-대수의 클래스를 포함하는 최소 다양체를 찾는다. 이는 부분대수 생성에 대해 닫혀 있지 않은 클래스이다.
• EMV-대수의 언어를 확장하여 유도된 이항 연산 ⊖을 추가함으로써 wEMV-대수를 구성한다.
• 모든 wEMV-대수가 최대 원소를 가진 관련 wEMV-대수에 임베딩될 수 있음을 증명한다.
• 최대 원소가 없는 진정한 EMV-대수(즉, 최대 원소가 없는 EMV-대수)에 대해 소수 이상과 합동 관계를 이용한 피어스 셰이프 표현을 개발한다.

제안 방법

• 항등식의 집합으로 정의된 유형 (2,2,2,2,0)의 wEMV-대수를 도입하여 다양체를 형성한다.
• 각 EMV-대수의 언어에 유도된 이항 연산 ⊖을 추가하여 관련 wEMV-대수를 구성한다.
• 소수 이상과 유도된 합동 관계를 이용하여 임의의 wEMV-대수를 관련 wEMV-대수에 임베딩한다.
• 임bed딩 정리들을 통해 wEMV 다양체가 모든 관련 wEMV-대수를 포함하는 최소 부분다양체임을 증명한다.
• 진정한 EMV-대수 M의 소수 이상의 공간 X = P(I(M))를 사용하여 피어스 셰이프 (E, π, X)를 구성한다.
• 셰이프 구조가 연산(∨, ∧, ⊕)의 연속성을 보장하고, 전역 단면들이 M과 동형인 EMV-대수를 형성함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 EMV-대수가 부분대수에 대해 닫혀 있지 않기 때문에, EMV-대수의 클래스를 포함하는 최소 다양체는 무엇인가?
• RQ2 EMV-대수에 어떻게 유도된 이항 연산 ⊖을 추가하여 EMV-대수를 포함하는 다양체를 만들 수 있는가?
• RQ3 모든 wEMV-대수는 최대 원소를 가진 관련 wEMV-대수에 임베딩될 수 있는가?
• RQ4 소수 이상을 이용한 셰이프 이론적 표현이 최대 원소가 없는 진정한 EMV-대수에 대해 존재하는가?
• RQ5 반단순 또는 스톤 EMV-대수는 어떤 조건에서 유계 EMV-대수의 셰이프에 임베딩될 수 있는가?

주요 결과

• EMV-대수로부터 유도된 모든 관련 wEMV-대수를 포함하는 wEMV-대수의 다양체 wEMV는 그 다양체의 최소 부분다양체이다.
• 모든 wEMV-대수는 최대 원소를 가진 관련 wEMV-대수에 임베딩될 수 있으며, 이 경우 최대 이상으로 나타난다.
• 각 wEMV-대수는 최대 관련 wEMV-부분대수와 엄격한 wEMV-부분대수의 직접곱과 동형이다.
• wEMV-대수의 부분다양체의 집합은 가산 무한이며, 그들의 등식 기반에 의해 완전히 특징지어진다.
• 최대 원소가 없는 진정한 EMV-대수는, MV-체인을 스토크로 가지며 하우스도르프 보수 셰이프인 피어스 셰이프 표현을 갖는다.
• 모든 스톤 EMV-대수는 스토크가 MV-체인이며 하우스도르프 보수 셰이프인 전역 단면의 MV-대수에 임베딩될 수 있다.