[논문 리뷰] A very accurate method to approximate discontinuous functions with a finite number of discontinuities

Eduardo Stella, Celso L. Ladera외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 19.

Iterative Methods for Nonlinear Equations참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 개의 불연속성을 가진 함수를 유리수 인수를 가진 쌍곡 tangent 함수를 사용하여 부드럽게 연결하는 분석적 방법으로 근사하는 데에 매우 높은 정확도를 제공한다. 이 방법은 기브스 현상을 피하며, 불연속점 근처에서도 상대 오차가 10⁻¹⁴ 수준으로 매우 낮게 유지되며, 분할 함수로부터 계수를 결정하기 위해 선형 시스템을 푸는 방식으로, 점프 지점에서 정확한 수렴을 가능하게 한다.

ABSTRACT

A simple and very accurate method to approximate a function with a finite number of discontinuities is presented. This method relies on hyperbolic tangent functions of rational arguments as connecting functions at the discontinuities, each argument being the reciprocal of Newton binomials that depend on the abscissae that define the domain of the discontinuous function and upon the abscissae of discontinuities. Our approximants take the form of linear combinations of such hyperbolic tangent functions with coefficients that are obtained by solving a linear system of inhomogeneous equations whose righthand sides are the partition functions that define the given discontinuous function. These approximants are analytic, and being free from the Gibbs phenomenon certainly converge at the discontinuity points much better than other known approximants to discontinuous functions, typical relative errors being of the order of 10-14 even when as close as 10-12 to the discontinuity points. Moreover, they can be readily scaled to larger intervals. Our method is here illustrated with a representative set of discontinuous mathematical physics functions, and by studying the dynamics of an oscillator subjected to a discontinuous force, but it can be applied to important cases of discontinuous functions in physics, mathematics, engineering and physical chemistry.

연구 동기 및 목표

• 유한 개의 점프 불연속성을 가진 불연속 함수를 정확하게 근사하는 방법을 개발한다.
• 기존의 푸리에 기반 근사에서 불연속점 근처에서 발생하는 기브스 현상을 제거한다.
• 불연속점에서 신뢰성 있게 수렴하는 분석적 근사함수를 제공한다.
• 정확도를 잃지 않고 더 큰 간격으로도 확장 가능한 근사 방법을 제공한다.
• 물리학, 공학 및 수학적 모델링에 적용 가능한 실용적이고 수치적으로 안정된 접근법을 제공한다.

제안 방법

• 이 방법은 뉴턴 이항계수로부터 유도된 유리수 인수를 가진 쌍곡 tangent 함수의 선형 조합으로 근사함수를 구성한다.
• 각 쌍곡 tangent 함수는 불연속점에 중심을 두고 있으며, 도메인 경계와 불연속점 위치에 따라 의존하는 뉴턴 이항계수의 역수에 의해 조절된다.
• 선형 조합의 계수는 불연속 함수를 정의하는 분할 함수에 의해 주어진 우변을 가진 비동차 선형 방정식계를 풀어 결정된다.
• 결과로 얻어진 근사함수는 전체 정의역 전체에서 해석적이고 부드럽고, 불연속점에서도 마찬가지로 그러하다.
• 이 방법은 불연속점에 10⁻¹² 수준으로 접근할 때조차도 높은 정밀도로 수렴을 보장한다.
• 이 형식은 정확도를 유지하면서도 더 큰 간격으로의 확장이 간편하게 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 개의 점프 불연속성을 가진 불연속 함수에 대해, 불연속점에서 정확하게 수렴하는 부드럽고 해석적인 근사가 가능할 수 있는가?
• RQ2 점프 불연속성을 가진 함수를 근사할 때 기브스 현상을 어떻게 피할 수 있는가?
• RQ3 어떤 함수 형태와 매개변수화 방식이 불연속점 근처에서도 고정밀도 근사를 가능하게 하는가?
• RQ4 이 방법은 다중 불연속성을 가진 함수로 일반화되고 더 큰 영역으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 불연속점에 접근할 때 상대 오차 수준은 어느 정도 도달할 수 있는가?

주요 결과

• 불연속점에 10⁻¹² 수준으로 접근할 때조차도 상대 오차가 10⁻¹⁴ 수준으로 매우 낮게 유지되어 놀라운 수치 정밀도를 입증한다.
• 근사함수는 해석적이며 불연속점에서 수렴하지만, 기존의 푸리에 급수와 달리 기브스 현상을 보이지 않는다.
• 유리수 인수를 가진 쌍곡 tangent 함수의 사용은 점프를 통해 부드러운 전이를 가능하게 하면서도 고정밀도를 유지한다.
• 계수 결정을 위한 선형 방정식계는 잘 조절되어 있고 수치적으로 안정하여 신뢰성 있는 계산이 보장된다.
• 이 방법은 확장 가능하며 수학적 물리학, 공학, 물리화학 등 불연속적 행동을 보이는 함수에 적용 가능하다.
• 예시로는 불연속 힘에 의해 영향을 받는 진동자 시스템을 포함한 다양한 사례들이 제시되었으며, 이는 동적 시스템에서의 방법의 강건성과 고정밀도를 확인한다.