[논문 리뷰] A Virtual Element Method for elastic and inelastic problems on polytope meshes

L. Beirão da Veiga, Carlo Lovadina외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 06.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 9인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 일반 다면체 메시에서 비선형 탄성 및 비탄성 문제를 위한 가상요소법(Virtual Element Method, VEM)을 제시한다. 이 방법은 저차원 이동량 근사와 안정화된 기울기 재구성 기법을 사용하여 각 요소당 구성법칙을 한 번만 적용한다. 이로 인해 계산 효율성이 확보되며, 임의의 다각형/다면체 요소를 처리할 수 있고, 표준 블랙박스 구성 모델을 통합할 수 있다. 2차원 수치 실험에서 비선형 탄성 및 경화를 고려한 보른-미eses 플라스틱성에 대해 최적 수렴성을 입증한다.

ABSTRACT

We present a Virtual Element Method (VEM) for possibly nonlinear elastic and inelastic problems, mainly focusing on a small deformation regime. The numerical scheme is based on a low-order approximation of the displacement field, as well as a suitable treatment of the displacement gradient. The proposed method allows for general polygonal and polyhedral meshes, it is efficient in terms of number of applications of the constitutive law, and it can make use of any standard black-box constitutive law algorithm. Some theoretical results have been developed for the elastic case. Several numerical results within the 2D setting are presented, and a brief discussion on the extension to large deformation problems is included.

연구 동기 및 목표

• 소변형 영역에서 비선형 탄성 및 비탄성 문제를 위한 가상요소법(Virtual Element Method, VEM)을 개발하는 것.
• 명시적인 기저 함수 구축이 필요 없이 일반 다각형 및 다면체 메시를 사용할 수 있도록 하는 것.
• 각 요소당 구성법칙 평가 횟수를 최소화하여, 한 점 적분 수준의 효율성을 달성하는 것.
• 기존의 상용 FEM 소프트웨어에서 사용되는 표준 블랙박스 구성 알고리즘과의 원활한 통합을 가능하게 하는 것.
• 구성법칙의 안정성 및 연속성 조건 하에서 탄성 경우의 이론적 수렴성을 확립하는 것.

제안 방법

• 각 다면체 요소에서 이동량 장에 대해 저차원 다항식 근사를 사용한다.
• 기저 함수 평가를 피하기 위해, 변형률을 계산하기 위해 국소 투영 기반의 이동량 기울기 재구성 기법을 도입한다.
• 록킹과 시계열 모드를 제어하기 위해 변분 형식에 안정화 항을 추가한다. 이 안정화 항은 선형 문제에 대한 표준 VEM 방법에서 유도된다.
• 약한 형식은 각 요소를 독립적으로 조립하며, 자유도와 투영된 기울기만을 사용하여 일致성과 안정성을 확보한다.
• 구성법칙은 각 반복에서 요소당 한 번만 재구성된 기울기를 사용하여 적용되며, 기존 공 ing 소프트웨어와의 통합이 가능하다.
• 대변형 문제로의 확장을 위해 물질 기술과 제1 피아올라-키르히호프 응력 텐서를 사용한 수식을 도입하였지만, 아직 초보적인 탐색 수준이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가상요소법(VEM)은 일반 구성법칙을 가진 다면체 메시에서 비선형 탄성 문제로 효과적으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 VEM은 각 요소당 구성법칙을 한 번만 적용하도록 어떻게 구성할 수 있으며, 이로 인해 계산 효율성이 확보되는가?
• RQ3 제안된 VEM 체계는 표준 안정성 및 연속성 조건 하에서 비선형 탄성 문제에 대해 최적 수렴률을 달성하는가?
• RQ4 VEM 프레임워크는 상용 유한요소 소프트웨어에서 사용되는 표준 블랙박스 구성 모델을 자연스럽게 통합할 수 있는가?
• RQ5 비탄성 문제, 특히 비정질 경화를 고려한 보른-미eses 플라스틱성에 대해 비정규 다각형 메시에서 VEM의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 구성법칙의 연속성 및 안정성 조건이 만족될 경우, 비선형 탄성 문제에 대해 VEM이 최적 수렴률을 달성한다.
• 삼각형, 사각형, 육각형 바이어노이 메시를 포함한 2차원 수치 결과는 기준 해로 수렴하며, 메시 정밀도가 증가함에 따라 점 P = (1,1)의 x방향 이동량이 1.1018 m로 수렴한다.
• 경화를 고려한 보른-미eses 플라스틱성 문제에서는 비선형 거동을 성공적으로 포착하고 메시 수렴성을 보이며, 계산된 이동량이 기준 해로 수렴한다.
• 메시 왜곡과 요소 유형에 대해 강건함을 입증하였으며, 삼각형, 사각형, 바이어노이 메시 전반에서 일관된 수렴성을 보였다.
• 다양한 메시 유형(삼각형, 정사각형, 육각형)에서의 변형된 형상은 시각적으로 타당하며 유사한 구성으로 수렴함을 보여, 뛰어난 기하학적 유연성을 보였다.
• 뉴-후크형 초탄성 모델을 사용한 대변형 문제로의 초보적 확장 결과는 실현 가능성을 보이며, 방법이 물질 기술 및 제1 피아올라-키르히호프 응력 수식에 적응 가능함을 입증하였다.