[논문 리뷰] A Viscosity Approach to Stochastic Differential Games of Control and Stopping Involving Impulsive Control

David Mguni|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 30.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 32인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 충격 제어자와 정지 플레이어를 포함하는 제로섬 스토케스틱 미분 게임에 대해 값의 존재성을 확립하며, 게임의 값이 이중 장벽 준-적분변분부등식의 유일한 점성 해임을 증명한다. 이 접근법은 검증 방법의 부드러움 제약를 극복하기 위해 점성 이론을 사용하여, 확산 역학과 충격 제어에 일반적인 조건 하에서 잘 정의된 문제를 보장한다.

ABSTRACT

This paper analyses a stochastic differential game of control and stopping in which one of the players modifies a diffusion process using impulse controls, an adversary then chooses a stopping time to end the game. The paper firstly establishes the regularity and boundedness of the upper and lower value functions from which an appropriate variant of the dynamic programming principle (DPP) is derived. It is then proven that the upper and lower value functions coincide so that the game admits a value and that the value of the game is a unique viscosity solution to a HJBI equation described by a double obstacle quasi-integro-variational inequality.

연구 동기 및 목표

• 충격 제어를 사용하는 플레이어와 정지 시간을 선택하는 플레이어를 포함하는 확률적 미분 게임에서 값의 존재성을 확립하는 것.
• 값 함수가 충분한 부드러움을 갖지 못하는 경우가 흔한 설정에서, 전통적 검증 방법의 한계를 점성 이론을 활용하여 극복하는 것.
• 값 함수를 이중 장벽 준-적분변분부등식으로 표현된 해밀턴-자코비-벨리만-아이사이트스(HJBI) 방정식의 유일한 점성 해로 특성화하는 것.
• 기존의 확률적 미분 게임 이론을 충격 제어와 정지 기능을 포함하도록 확장하여, 비대칭 제어와 정지 메커니즘을 갖는 이인 게임에 대한 문헌의 빈도를 메우는 것.
• 거래 수수료가 포함된 생애 전반의 파산 문제와 같은 금융 문제 모델링을 위한 엄밀한 기반을 제공하는 것, 여기서 이산적 거래 행동과 최적의 퇴출 시점이 모두 핵심 요소이다.

제안 방법

• 충격 제어와 정지 시간을 포함하는 게임의 구조에 맞춘 동적 프rogram밍 원리(DPP)를 유도하는 것.
• 점성 해 프레임워크를 지원하기 위해 상한 및 하한 값 함수의 정칙성과 유계성을 확립하는 것.
• 이시이의 보조정리를 적용하여 이차 상위 잔여집합과 하위잔여집합을 사용하여 상한 및 하한 값 함수 간의 비교 논증을 구성하는 것.
• 편미분 계수, 확산 계수, 실행 비용 항을 포함하는 HJBI 방정식에서의 부등식을 유도하기 위해 점성 하부해 및 상부해 성질을 사용하는 것.
• 값 함수를 충격 제어와 정지 제약 조건 간의 상호작용을 반영하는 이중 장벽 준-적분변분부등식의 해로 특성화하는 것.
• 최댓값 점에서 V > U 라는 가정이 성립할 경우 모순을 이끌어내기 위해 매개변수 ε, α, η를 활용한 변형 논증을 시행하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 가정 하에서 충격 제어와 정지를 포함하는 확률적 미분 게임은 값이 존재하는가?
• RQ2 충격 제어와 정지 시간이 존재하는 상황에서 값 함수는 HJBI 방정식의 점성 해로 특성화될 수 있는가?
• RQ3 충격 제어 문제에서 흔히 발생하는 값 함수의 부드러움 부족 문제는 어떻게 해결하여 잘 정의된 해를 보장할 수 있는가?
• RQ4 충격 제어와 정지가 동시에 존재할 경우 게임의 값을 지배하는 HJBI 방정식의 정확한 형태는 무엇인가?
• RQ5 이러한 유형의 게임에서 점성 해 클래스 내에서 값 함수는 유일한가?

주요 결과

• 게임은 값이 존재하며, 이는 상한 및 하한 값 함수가 일치함을 의미한다.
• 값 함수는 이중 장벽 준-적분변분부등식의 유일한 점성 해이며, 이는 게임의 HJBI 방정식을 구성한다.
• 점성 해 프레임워크는 값 함수의 부드러움 부족을 효과적으로 다루며, 전통적 검증 방법의 한계를 극복한다.
• 충격 제어와 정지가 포함된 게임에 적합한 변형된 형태의 동적 프로그래밍 원리가 확립된다.
• 변형 논증과 이시이의 보조정리를 통해 비교 원리가 증명되며, 최댓값 점에서 V > U 라는 가정이 성립할 경우 모순이 도출된다.
• 값 함수는 전통적 HJB 유도가 비미분 가능성으로 실패하는 경우에도 점성 의미에서 HJBI 방정식을 만족한다.