[논문 리뷰] A visible factor of the special L-value

Amod Agashé|ArXiv.org|2008. 10. 14.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 새로운 형식 f에 대응하는 J₀(N)의 몫 A에 대해 특수 L값과 실주기의 비율에 대한 공식을 제공하며, 이를 유리수로 표현한다. 이 비율의 분자에 포함된 정수 인자 중에서 f와 양의 해석적 계수를 가진 고유형식 간의 합동과 관련된 것을 규명하고, 가시성 이론을 이용해 이 인자가 소수 q로 나누어 떨어지면, q는 A의 샤파레비치-타이트 그룹의 순서이거나 성분군의 순서를 나누게 된다는 것을 증명한다. 이는 버치와 스위너튼-다이어의 추측의 두 번째 부분에 대한 이론적 근거를 제공한다.

ABSTRACT

Let~$A$ be a quotient of $J_0(N)$ associated to a newform $f$ such that the special $L$-value of $A$ (at $s=1$) is non-zero. We give a formula for the ratio of the special $L$-value to the real period of $A$ that expresses this ratio as a rational number. We extract an integer factor from the numerator of this formula; this factor is non-trivial in general and is related to certain congruences of $f$ with eigenforms of positive analytic rank. We use the techniques of visibility to show that, under certain hypotheses (which includes the first part of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture on rank), if an odd prime $q$ divides this factor, then $q$ divides either the order of the Shafarevich-Tate group or the order of a component group of $A$. Suppose $p$ is an odd prime such that $p^2$ does not divide $N$, $p$ does not divide the order of the rational torsion subgroup of $A$, and $f$ is congruent modulo a prime ideal over $p$ to an eigenform whose associated abelian variety has positive Mordell-Weil rank. Then we show that $p$ divides the factor mentioned above; in particular, $p$ divides the numerator of the ratio of the special $L$-value to the real period of $A$. Both of these results are as implied by the second part of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, and thus provide theoretical evidence towards the conjecture.

연구 동기 및 목표

• 특수 L값과 실주기의 비율에서 새로운 형식에 대응하는 아벨 다양체 A_f에 대한 분수의 분자에 해당하는 산술적 의미를 이해하는 것.
• 이 비율에서 나타나는 정수 인자 중에서 새로운 형식 f와 양의 모델-벨 군 계수를 가진 고유형식 간의 합동으로 인해 발생하는 것을 규명하는 것.
• 가시성 이론을 적용하여, 이 인자를 나누는 홀수 소수 q가 특정 조건 하에 A_f의 샤파레비치-타이트 그룹의 순서이거나 성분군의 순서를 나누게 되는 것을 보여주는 것.
• 가시성 이론을 통해 버치와 스위너튼-다이어의 추측의 두 번째 부분에 대한 이론적 증거를 제공함으로써, 샤파레비치-타이트 그룹의 추측된 순서와의 연관성을 밝혀내는 것.

제안 방법

• 모듈라 매개변수 이론과 J₀(N)의 구조를 이용해 L(A_f,1)/Ω_A_f를 유리수로 표현하는 공식을 유도한다.
• 이 유리수 비율의 분자에 포함된 가시적 정수 인자를 규명하며, 이는 새로운 형식 f와 양의 해석적 계수를 가진 고유형식 간의 합동과 관련된다.
• 가시성 이론을 적용하여, 만약 홀수 소수 q가 이 인자를 나누면, 첫 번째 버치와 스위너튼-다이어 추측의 랭크에 대한 가정 하에 q는 |Ш(A_f)| 또는 어떤 p(N를 나누는 소수)에 대해 c_p(A_f)를 나누게 된다는 것을 보여준다.
• ℓ-진 타이트 모듈과 갈루아 코hom로의 프로베니우스 작용을 이용해 성분군의 순서를 소수 p에서의 오일러 인자의 p-진 값과 연결한다.
• ℓ-진 타이트 모듈의 I_p 고정점에 대한 몫 V_ℓ^I_p / T_ℓ^I_p와 H⁰(ℚ_ℓ, V_ℓ^I_p / T_ℓ^I_p) 사이의 동형을 이용해 오일러 인자 P_p(p^{-1})의 p-진 값수를 계산한다.
• 갈루아 코호몰로지적 추론을 통해, 성분군 순서의 p에 대한 부분은 V_ℓ^I_p / T_ℓ^I_p의 갈루아 고정점의 수와 일치하며, 이는 p-거듭제곱 인자 외에는 성분군 순서 c_p(A_f)와 일치함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 L(A_f,1)/Ω_A_f의 분수 분자에 새로운 형식 f의 산술적 합동을 반영하는 정수 인자가 존재하는가?
• RQ2 만약 홀수 소수 q가 이 정수 인자를 나누면, 반드시 |Ш(A_f)| 또는 A_f의 성분군의 순서를 나누는가?
• RQ3 가시성 이론은 f가 양의 모델-벨 군 계수를 가진 고유형식과 합동일 경우 샤파레비치-타이트 그룹의 순서가 비자명하다는 것을 암시하는가?
• RQ4 성분군 순서 c_p(A_f)는 오일러 인자 P_p(p^{-1})의 p-진 값수와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 비율 L(A_f,1)/Ω_A_f는 유리수이며, 그 분자에는 일반적으로 비자명하고 f와 양의 해석적 계수를 가진 고유형식 간의 합동과 관련된 정수 인자가 포함되어 있다.
• 홀수 소수 q가 이 정수 인자를 나누고 첫 번째 버치와 스위너튼-다이어 추측이 성립한다면, 어떤 p(N을 나누는 소수)에 대해 q는 |Ш(A_f)| 또는 c_p(A_f)를 나눈다.
• f가 소수 이상수 p 위에서 양의 모델-벨 군 계수를 가진 고유형식과 합동이며, 추가 조건(p²∤N, p∤|A_f(Q)_{tors}|)을 만족하면, p는 L(A_f,1)/Ω_A_f의 분자에 포함된다.
• 오일러 인자 P_p(p^{-1})의 p-진 값수는 V_ℓ^I_p / T_ℓ^I_p의 갈루아 고정점의 수와 일치하며, 이는 성분군 순서 c_p(A_f)와 p-거듭제곱 인자 외에는 일치한다.
• 성분군 순서 c_p(A_f)는 타이트 모듈의 갈루아 코호몰로지에 의해 결정되며, 특히 V_ℓ^I_p / T_ℓ^I_p에서 프로베니우스의 고정점에 의해 결정된다.
• 가시성 이론에 따르면, f가 양의 계수를 가진 형식과 합동이면 Ш(A_f)는 비자명하며, 이는 L값 비율의 분자에 반영되며 버치와 스위너튼-다이어의 추측의 두 번째 부분을 지지한다.