[논문 리뷰] A wavelet Plancherel theory with application to sparse continuous wavelet transform

Ron Levie, Nir Sochen|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 07.

Image and Signal Denoising Methods참고 문헌 30인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 파동수-플랑커델 이론을 도입하여 신호를 윈도우-신호 공간에 매립함으로써, 파동수-플랑커델 변환을 통해 신호 공간과 위상 공간 사이의 등거리 동형사상(이sovolumetric isomorphism)을 가능하게 한다. 이 동형사상 덕분에 윈도우-신호 공간에서 계수 탐색을 통해 효율적인 희박 근사가 가능해지며, 기존의 매칭 푸러스 알고리즘에 비해 계산 복잡도를 감소시킨다.

ABSTRACT

We introduce a framework for calculating sparse approximations to signals based on elements of continuous wavelet systems. The method is based on an extension of the continuous wavelet theory. In the new theory, the signal space is embedded in larger abstract signal space, which we call the window-signal space. There is a canonical extension of the wavelet transform on the window-signal space, which is an isometric isomorphism from the window-signal space to a space of functions on phase space. Hence, the new framework is called a wavelet-Plancherel theory, and the extended wavelet transform is called the wavelet-Plancherel transform. Since the wavelet-Plancherel transform is an isometric isomorphism, any operation on phase space can be pulled-back to an operation in the window-signal space. Using this pull back property, it is possible to pull back a search for big wavelet coefficients to the window-signal space. We can thus avoid inefficient calculations on phase space, performing all calculations entirely in the window-signal space. We consider in this paper a matching pursuit algorithm based on this coefficient search approach. Our method has lower computational complexity than matching pursuit algorithms based on a naive coefficient search.

연구 동기 및 목표

• 연속 파동수 체계를 사용한 희박 신호 근사의 이론적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 매칭 푸러스 과정에서 위상 공간 내에서의 낭비적인 계수 탐색으로 인한 높은 계산 비용 문제를 해결하기 위해.
• 신호 공간을 더 큰 윈도우-신호 공간에 매립하여 위상 공간과의 등거리 동형사상 가능성을 확보하기 위해.
• 위상 공간에서의 연산을 윈도우-신호 공간으로 이전함으로써 효율적인 계산을 가능하게 하기 위해.
• 매칭 푸러스 기반의 희박 근사 알고리즘의 계산 복잡도를 감소시키기 위해.

제안 방법

• 신호 공간을 더 큰 추상 공간인 윈도우-신호 공간에 매립한다.
• 윈도우-신호 공간에서 위상 공간의 함수 공간으로의 등거리 동형사상으로서의 확장된 파동수-플랑커델 변환을 정의한다.
• 위상 공간에서의 연산, 예를 들어 계수 탐색을 윈도우-신호 공간으로 이전하여 계산한다.
• 이전 성질 덕분에 모든 계산이 윈도우-신호 공간 내에서만 수행되어 직접적인 위상 공간 연산을 피할 수 있다.
• 이러한 계수 탐색 방법을 기반으로 매칭 푸러스 알고리즘을 구성한다.
• 등거리적으로 동치인 윈도우-신호 공간에서의 운영을 통해 위상 공간에서의 비효율적 샘플링을 피한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 파동수 체계는 어떻게 확장되어 신호 처리에서 효율적인 희박 근사를 가능하게 할 수 있는가?
• RQ2 파동수 변환을 위한 신호 공간과 위상 공간 사이의 등거리 동형사상에 대한 수학적 프레임워크는 무엇인가?
• RQ3 문제를 더 큰 신호 공간으로 변환함으로써 매칭 푸러스의 계수 탐색을 최적화할 수 있는가?
• RQ4 위상 공간에서 직접 계산하는 것에 비해 윈도우-신호 공간에서 연산을 수행할 때의 계산적 이점은 무엇인가?
• RQ5 파동수-플랑커델 변환은 희박 근사 알고리즘의 복잡도를 어떻게 감소시킬 수 있는가?

주요 결과

• 파동수-플랑커델 변환은 윈도우-신호 공간과 위상 공간의 함수 간에 등거리 동형사상을 수립한다.
• 이 동형사상 덕분에 위상 공간의 모든 연산이 윈도우-신호 공간에서 동일하게 수행될 수 있다.
• 윈도우-신호 공간에서의 운영 덕분에 매칭 푸러스를 위한 더 효율적인 계수 탐색이 가능해진다.
• 결과적으로 도출된 희박 근사 알고리즘의 계산 복잡도는 전통적인 위상 공간 기반 매칭 푸러스보다 낮다.
• 이 프레임워크는 계산 오버헤드를 줄인 연속 파동수 체계를 활용한 희박 신호 표현을 위한 이론적 기초를 제공한다.