[논문 리뷰] A Weak Dynamic Programming Principle for Combined Optimal Stopping and Stochastic Control with $\mathcal{E}^f$- expectations

Roxana Dumitrescu, Marie-Claire Quenez외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 점프를 수반하는 확률적 미분 방정식(BSDE)에 의해 유도된 비선형 ${\mathcal{E}}^{f}$-기대 하에서 병합된 최적 정지 및 확률적 제어 문제에 대해 약한 동적계획법 원리(DPP)를 수립한다. 값 함수의 상부 및 하부 하우스도르프 연속폐($u^*$ 및 $u_*$)가 비선형 해밀토니안-자비-벨만 변분부등식의 점성 하부 및 상부 해임을 증명하며, 고전적 DPP 결과를 불연속적인 종료 보상과 비선형 기대에까지 확장한다.

ABSTRACT

We study a combined optimal control/stopping problem under a nonlinear expectation ${\cal E}^f$ induced by a BSDE with jumps, in a Markovian framework. The terminal reward function is only supposed to be Borelian. The value function $u$ associated with this problem is generally irregular. We first establish a {\em sub- (resp. super-) optimality principle of dynamic programming} involving its {\em upper- (resp. lower-) semicontinuous envelope} $u^*$ (resp. $u_*$). This result, called {\em weak} dynamic programming principle (DPP), extends that obtained in \cite{BT} in the case of a classical expectation to the case of an ${\cal E}^f$-expectation and Borelian terminal reward function. Using this {\em weak} DPP, we then prove that $u^*$ (resp. $u_*$) is a {\em viscosity sub- (resp. super-) solution} of a nonlinear Hamilton-Jacobi-Bellman variational inequality.

연구 동기 및 목표

• 비선형 기대와 점프를 수반하는 ${\mathcal{E}}^{f}$-기대 하에서 최적 제어/정지 문제에 대해 약한 동적계획법 원리를 일반화하는 것.
• 종료 보상 함수가 연속적이거나 하우스도르프 연속이 아닐 수 있는 경우를 다루는 것.
• 값 함수의 상부 및 하부 하우스도르프 연속폐가 점성 하부 및 상부 해 속성을 만족시킴을 확립하는 것.
• 고전적 점성 해 프레임워크를 비선형 기대와 불규칙한 종료 데이터로 확장하는 것.

제안 방법

• 브라운 운동과 포아송 랜덤 측도로 구동되는 제어된 SDE를 포함하는 마코프 프레임워크를 사용한다.
• 점프를 수반하는 역행 확률적 미분 방정식(비선형 ${\mathcal{E}}^{f}$-기대를 정의하는 데 사용.
• 값 함수의 상부 및 하우스도르프 연속폐 $u^*$ 및 $u_*$를 분석함으로써 약한 DPP를 적용한다.
• 상부 해 속성은 $u^*$를 포함하는 하위최적 원리와 하부 해 속성은 $u_*$를 포함하는 초과최적 원리를 통해 유도한다.
• 불연속 함수의 근사 기법과 $L^2$ 및 $\mathbb{H}^2$ 공간의 분리 가능성을 활용하여 불규칙성을 다룬다.
• 완비화된 필터링 하에서 가측 함수의 버전 존재성을 보장하기 위해 측도 이론 결과를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 기대와 점프를 수반하는 ${\mathcal{E}}^{f}$-기대 하에서 병합된 최적 정지 및 확률적 제어 문제에 대해 약한 동적계획법 원리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 값 함수의 상부 및 하부 하우스도르프 연속폐는 비선형 기대 설정 하에서 HJB 변분부등식의 점성 해와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 종료 보상 함수가 연속적이거나 하우스도르프 연속이 아니라는 가정 없이도 약한 DPP가 성립하는가?
• RQ4 비선형 기대 프레임워크 하에서 값 함수의 폐가 점성 하부 및 상부 해로 특징지어질 수 있는가?
• RQ5 점프를 수반하는 BSDE는 ${\mathcal{E}}^{f}$-기대를 정의하고 고전적 DPP 결과의 확장을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 값 함수 $u$ 는 상부 하우스도르프 연속폐 $u^*$ 및 하부 하우스도르프 연속폐 $u_*$ 를 포함하는 약한 동적계획법 원리를 만족한다.
• 상부 폐 $u^*$ 는 비선형 해밀토니안-자비-벨만 변분부등식의 점성 하부 해이다.
• 하부 폐 $u_*$ 는 동일한 변분부등식의 점성 상부 해이다.
• 결과는 고전적 기대에서 ${\mathcal{E}}^{f}$-기대와 점프, 보렐 종료 보상으로의 약한 DPP를 확장한다.
• 증명은 불연속 함수의 근사와 $L^2$ 및 $\mathbb{H}^2$ 공간의 분리 가능성을 활용하여 불규칙성을 다루는 데 의존한다.
• 이 프레임워크는 [8]의 이전 결과를 비선형 기대와 불연속 보상 함수로 일반화한다.