[논문 리뷰] A Weak Galerkin Finite Element Method for the Stokes Equations

Junping Wang, Xiu Ye|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 12.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 7인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 불연속 다항식 근사법을 사용하여 $k \geq 1$ 차수의 속도와 $k-1$ 차수의 압력에 대해 임의의 다각형/다면체 메시에서 스토크스 방정식을 위한 약한 갈레르킨 (WG) 유한요소 방법을 제안한다. 이 방법은 분포로서의 약한 기울기와 발산을 사용하며, 매개변수 없는 안정화 항을 포함하며, 속도와 압력에 대해 파손된 $H^1$ 및 $L^2$ 노름에서 최적 순서의 오차 추정치를 달성한다.

ABSTRACT

This paper introduces a weak Galerkin (WG) finite element method for the Stokes equations in the primary velocity-pressure formulation. This WG method is equipped with stable finite elements consisting of usual polynomials of degree $k\ge 1$ for the velocity and polynomials of degree $k-1$ for the pressure, both are discontinuous. The velocity element is enhanced by polynomials of degree $k-1$ on the interface of the finite element partition. All the finite element functions are discontinuous for which the usual gradient and divergence operators are implemented as distributions in properly-defined spaces. Optimal-order error estimates are established for the corresponding numerical approximation in various norms. It must be emphasized that the WG finite element method is designed on finite element partitions consisting of arbitrary shape of polygons or polyhedra which are shape regular.

연구 동기 및 목표

• 임의의 다각형 및 다면체 메시를 허용하는 안정적이고 강력한 스토크스 방정식 유한요소 방법을 개발하기 위해.
• 속도와 압력에 모두 불연속 근사를 사용하여, 전통적인 적합한 유한요소 방법의 한계를 극복하기 위해.
• 고전적 의미에서의 인프-서프 조건을 요구하지 않고도 안정성과 최적 수렴성을 확보하기 위해, 매개변수 없는 안정화 항을 도입함으로써.
• 약한 도함수를 분포로서 정의하는 것에 기반하여, 스토크스 문제에 약한 갈레르킨 프레임워크를 확장하기 위해.
• 일般적인 메시 가정 하에 속도와 압력에 대해 관련 노름에서 최적 오차 추정치를 확립하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 불연속 유한요소 공간을 사용한다: 속도에 대해 $k \geq 1$ 차수의 다항식과 압력에 대해 $k-1$ 차수의 다항식을 사용하며, 요소 경계상에 추가로 $k-1$ 차수의 다항식을 포함한다.
• 약한 기울기 $\nabla_w$와 약한 발산 $\nabla_w \cdot$ 는 부분적 적분을 통해 정의되며, 이는 이산 소볼레프 공간 내에서 분포로서 해석된다.
• 속도 근사가 요소 간격을 넘어서 약한 연속성을 유지하도록 보장하기 위해 안정화 이차형식 $s(\cdot, \cdot)$ 이 도입된다.
• 변분 공식은 고전적 기울기와 발산을 그들의 약한 대체량으로 대체함으로써, 일致성과 안정성을 유지하는 혼합 형식을 이끌어낸다.
• 내부 자유도가 정적 축소를 통해 제거되는 혼합 유한요소 방법을 사용하여离산 시스템을 해석함으로써, 미지수의 수를 줄인다.
• 이 방법은 형상 정규성 있는 다각형 및 다면체 메시 위에서 구성되며, 메시 생성과 적응적 메쉬 세분화에 대한 유연성을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 다각형 및 다면체 메시에서 안정적이고 수렴 가능한 약한 갈레르킨 유한요소 방법을 스토크스 방정식에 대해 구성할 수 있는가?
• RQ2 불연속 근사를 사용하여 속도에 대해 파손된 $H^1$ 노름에서, 압력에 대해 $L^2$ 노름에서 최적 순서의 오차 추정치를 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ3 매개변수 없는 안정화 항 $s(\cdot, \cdot)$ 는 고전적 인프-서프 조건을 요구하지 않고도 안정성과 수렴성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 분포로서 정의된 약한 기울기 및 약한 발산 연산자는 수치적 방법의 일치성과 수렴성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 정적 축소를 통해 내부 자유도를 제거함으로써, 이 방법을 얼마나 효율적으로 만들 수 있는가?

주요 결과

• WG 방법은 최적 순서의 오차 추정치를 달성한다: 속도에 대해 파손된 $H^1$ 노름에서 $O(h^k)$, 속도와 압력에 대해 $L^2$ 노름에서 $O(h^k)$.
• 이 방법은 형상 정규성 있는 임의의 다각형 및 다면체 메시에서 안정적이고 수렴 가능하며, 요소 간의 적합한 연속성 조건을 요구하지 않는다.
• 안정화 항 $s(\cdot, \cdot)$ 는 매개변수 없이 속도 근사의 약한 연속성을 보장하며, 추가 제약 조건 없이 최적 수렴성을 가능하게 한다.
• 일치성 항 $\ell_{\mathbf{w}}(\mathbf{v})$ 와 $\theta_\rho(\mathbf{v})$ 의 오차 추정치는 각각 $Ch^r\|\mathbf{w}\|_{r+1}\|\!\!\|\mathbf{v}\|\!\!\|$ 와 $Ch^r\|\rho\|_r\|\!\!\|\mathbf{v}\|\!\!\|$ 로 유계이며, 최적 수렴 속도를 확인한다.
• 정확한 해가 제한된 정규성을 지닐 경우에도, 해가 $H^{r+1}$ 및 $H^r$ 공간에 속해 있다면, 속도와 압력 근사가 최적으로 수렴함을 보였다.
• 이 방법은 정적 축소를 허용하여 전역적으로 연결된 자유도의 수를 줄이며, 계산 효율성을 향상시킨다.