[논문 리뷰] A weak randomness notion for probability measures

André Nies, Frank Stephan|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 21.

Computability, Logic, AI Algorithms인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 캔터 공간 위의 확률측도에 대한 약한 랜덤성 개념을 제안하며, 이를 마틴-lö프 절대연속성으로 정의한다. 여기서 비-ML-랜덤 수열들이 측도 하에 영집합을 이룬다. 이 성질과 측도 하에서의 초기 세그먼트 복잡도의 증가율 간의 관계를 규명하여, 최대 복잡도 증가율이 약한 랜덤성 성질을 유도함을 보이고, 그러나 레빈-슐로르 정리의 역은 이 맥락에서 성립하지 않음을 밝힌다.

ABSTRACT

We study algorithmic randomness properties for probability measures on Cantor space. We say that a measure $\mu$ on the space of infinite bit sequences is ML absolutely continuous if the non-ML-random bit sequences form a null set with respect to~$\mu$. We think of this as a weak randomness notion for measures. We begin with examples, and provide a robustness property related to Solovay tests. Our main work connects our weak randomness notion to the growth of the initial segment complexity for measures~$\mu$; the latter is defined as a $\mu$-average over the complexity of strings of the same length. We show that a maximal growth implies our weak randomness property, but also that both implications of the Levin-Schnorr theorem fail. We discuss $C$-triviality and $K$-triviality for measures and relate these two notions with each other. Here triviality means that the growth of initial segment complexity is as slow as possible. We show that full Martin-Lof randomness of a measure implies ML absolute continuity; the converse fails because only the latter property is compatible with having atoms. In a final section we consider weak randomness relative to a general ergodic computable measure. We seek appropriate effective versions of the Shannon-McMillan-Breiman theorem and the Brudno theorem where the bit sequences are replaced by measures. We conclude with several open questions.

연구 동기 및 목표

• 캔터 공간 위의 확률측도에 대한 알고리즘적 랜덤성의 약한 형태를 정의하고 조사하는 것.
• 솔로베이 테스트를 사용하여 이 개념의 강건성을 탐색하고, 원소를 가진 측도와의 호환성을 검토하는 것.
• 약한 랜덤성 성질과 측도 하에서 문자열의 평균 초기 세그먼트 복잡도 간의 관계를 연결하는 것.
• 측도에 대한 $C$-비어있음과 $K$-비어있음을 연구하여 복잡도 증가의 느린 성장을 특성화하는 것.
• 일반적인 에르고딕 가역 측도에 대한 약한 랜덤성 결과를 확장하고, 샤논-맥밀런-브루드노 정리와 브루드노 정리의 효과적 형태를 찾는 것.

제안 방법

• 주어진 확률측도 하에서 비-마틴-lö프 랜덤 수열들이 측도가 0이 되는 조건으로서 ML 절대연속성을 정의하는 것.
• 측도 변환 하에서 약한 랜덤성 개념의 강건성을 확보하기 위해 솔로베이 테스트를 사용하는 것.
• 측도 $\mu$ 하에서 길이 $n$ 인 문자열의 평균 초기 세그먼트 복잡도 $\mathbb{E}_\mu[K(x)]$ 를 분석하는 것.
• 최대 성장률을 보이는 $\mathbb{E}_\mu[K(x)]$ 가 ML 절대연속성을 유도함을 증명하는 것.
• 레빈-슐로르 정리의 함의가 측도 맥락에서는 성립하지 않음을 보여주는 것.
• 복잡도 증가의 최소 수준을 나타내는 개념으로서 측도에 대한 $C$-비어있음과 $K$-비어있음을 연구하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ML 절대연속성은 측도에 대해 완전한 마틴-lö프 랜덤성을 유도하는가?
• RQ2 측도 하에서의 평균 초기 세그먼트 복잡도 $\mathbb{E}_\mu[K(x)]$ 는 측도 $\mu$ 의 약한 랜덤성 성질과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 레빈-슐로르 정리의 함의는 측도로 확장될 수 있는가, 아니면 이 맥락에서 실패하는가?
• RQ4 측도에 대한 $C$-비어있음과 $K$-비어있음 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 측도에 대해 샤논-맥밀런-브루드노 정리와 브루드노 정리의 효과적 형태를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 측도의 완전한 마틴-lö프 랜덤성은 ML 절대연속성을 유도하지만, 원소와의 호환성으로 인해 그 역은 성립하지 않는다.
• 평균 초기 세그먼트 복잡도 $\mathbb{E}_\mu[K(x)]$ 의 최대 증가율은 측도 $\mu$ 에 대해 ML 절대연속성을 유도한다.
• 레빈-슐로르 정리의 함의는 측도 맥락에서는 성립하지 않으며, 전행 방향은 여전히 성립한다.
• 측도에 대한 $C$-비어있음과 $K$-비어있음은 서로 다른 개념이며, $K$-비어있음은 복잡도 증가의 가장 느린 가능성을 나타낸다.
• ML 절대연속성은 솔로베이 테스트에 대해 강건하여, 효과적 측도 변환 하에서도 안정적임을 나타낸다.
• 논문은 측도에 대한 샤논-맥밀런-브루드노 정리와 브루드노 정리의 효과적 형태에 관한 열린 질문을 규명한다.