[논문 리뷰] A weighted finite element mass redistribution method for dynamic contact problems

Farshid Dabaghi, Pavel Krejčı́외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 05.

Contact Mechanics and Variational Inequalities참고 문헌 26인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 동적 접촉 문제를 위한 가중 유한요소 질량 재분배 방법을 제안한다. 접촉 노드의 질량을 인접 노드로 이동시켜 위상 이득과 진동을 제거하면서 에너지 보존을 유지한다. 하이브리드 스킴을 통해 조건부 안정성 있는 비소산 시간 적분을 보장하며, 기존 방법들보다 정확도를 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

This paper deals with a one-dimensional wave equation being subjected to a unilateral boundary condition. An approximation of this problem combining the finite element and mass redistribution methods is proposed. The mass redistribution method is based on a redistribution of the body mass such that there is no inertia at the contact node and the mass of the contact node is redistributed on the other nodes. The convergence as well as an error estimate in time are proved. The analytical solution associated with a benchmark problem is introduced and it is compared to approximate solutions for different choices of mass redistribution. However some oscillations for the energy associated with approximate solutions obtained for the second order schemes can be observed after the impact. To overcome this difficulty, an new unconditionally stable and a very lightly dissipative scheme is proposed.

연구 동기 및 목표

• 접촉 노드에서 질량 제거로 인해 발생하는 수치 해의 위상 이득과 비물리적 진동을 해결하기 위해.
• 총 질량을 유지하고 인위적 에너지 손실 또는 증가를 방지하는 질량 재분배 전략을 개발하기 위해.
• 접촉 충격 탄성동역학 시스템에서 조건부 안정성과 최소한의 소산을 보장하는 시간 적분을 확보하기 위해.
• 뉴메르크 및 암시적 오일러 방법과 비교해 위상 오차와 진동을 제거함으로써 기존 방법보다 정확도를 향상시키기 위해.
• 수치 실험을 통해 1차원에서의 효과를 입증하고, 고차원으로의 일반화 가능성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 접촉 노드의 질량을 인접 노드로 재분배하여 전체 시스템 질량을 유지하고 접촉점에서 관성 효과를 제거하기 위해.
• 에너지 보존과 잘 정의된 문제를 보장하기 위해 수정된 질량 행렬을 사용한 유한요소 기반 공간 반할착화를 사용하기 위해.
• 크랭크-니콜슨과 중점법을 조합한 하이브리드 시간 적분 스킴을 제안하여 조건부 안정성과 최소한의 에너지 소산을 달성하기 위해.
• 시그노르니 조건 하에서 반할착화 형식의 수렴성 및 오차 추정을 수립하기 위해.
• 검증을 위해 분석적 조각별 애프린 및 주기적 해를 갖는 벤치마크 문제에 방법을 적용하기 위해.
• 다양한 재분배 패턴(예: 모드 1: 재분배 없음, 모드 2: 질량 제거, 모드 3: 인접 노드로 재분배)을 비교하기 위한 수치 실험을 수행하고 정확도에 미치는 영향을 평가하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 접촉 노드의 질량을 인접 노드로 재분배함으로써 동적 접촉 문제에서 분석적 해와 수치 해 사이의 위상 이득을 제거할 수 있는가?
• RQ2 재분배 노드의 선택이 탄성동역학 접촉 시뮬레이션에서 수치 해의 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 에너지 진동을 방지하고 접촉 충격 시스템에서 높은 정확도를 유지하는 조건부 안정성 있는 시간 적분 스킴을 구축할 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법이 비물리적 진동을 제거하면서도 에너지 보존을 유지하는가?
• RQ5 가중 질량 재분배 방법은 2차원 탄성동역학과 같은 고차원 문제로 확장 가능하고 효과적인가?

주요 결과

• 가중 질량 재분배 방법은 이전 질량 제거 방법의 주요 단점이었던 분석적 해와 근사 해 사이의 위상 이득을 제거한다.
• 에너지 보존을 유지하고 접촉 경계에서 비물리적 진동을 방지하며, 뉴메르크 및 파올리-샤츠만 방법보다 뛰어난 성능을 보인다.
• 하이브리드 시간 스킴은 조건부 안정성을 보장하고 에너지 변화를 거의 제로로 줄여 암시적 오일러 방법보다 에너지 행동에서 뛰어난 성능을 보인다.
• 수치 실험 결과, 접촉 직전의 노드로 질량을 재분배하는 경우(모드 3)가 가장 낮은 오차를 보였으며, 2차원에서 Δx = 0.05일 때 총 오차율은 0.0038이었다.
• 반할착화에서 문제의 잘 정의됨과 안정성이 유지되며, 시간에 대한 수렴성 및 오차 추정이 증명되었다.
• 표 1의 2차원 오차율 결과를 바탕으로 이 방법은 높은 차원으로의 확장이 가능하고, 강건함을 보이며, 효과적임을 시사한다.