[논문 리뷰] A Yaglom type asymptotic result for subcritical branching Brownian motion with absorption

Jiaqi Liu|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 05.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 흡수를 고려한 약간의 초임계적 분열 브라운 운동에 대해 야글롬 유형의 점근적 결과를 확립하며, 비율이 임계점에 가까워질수록 생존 조건 하에서 입자의 기대 수가 지수적으로 증가함을 보여준다. 뼈대 분해와 마팅게일 분석을 통해 ε → 0 일 때 조건부 기대값이 exp(Θ(1/√ε))의 척도로 증가함을 증명한다. 여기서 ε는 임계점에서의 거리 측정이다.

ABSTRACT

We consider a slightly subcritical branching Brownian motion with absorption, where particles move as Brownian motions with drift $-\sqrt{2+2\varepsilon}$, undergo dyadic fission at rate $1$, and are killed when they reach the origin. We obtain a Yaglom type asymptotic result, showing that the long run expected number of particles conditioned on survival grows exponentially as $1/\sqrt{\varepsilon}$ as the process approaches criticality.

연구 동기 및 목표

• 큰 시간 동안 생존 조건 하에서의 초임계적 분열 브라운 운동의 입자 수 기대값의 점근적 행동을 분석하는 것.
• 과정이 √2에서 위로 임계 비율으로 수렴함에 따라 이 조건부 기대값이 어떻게 발산하는지 이해하는 것.
• 임계점에 가까운 영역에서 생존 시간 조건 기대값의 성장률에 대한 정밀한 지수적 경계를 유도하는 것.
• 시스템이 임계점에 수렴함에 따라 생존 입자 수의 기대값에 대한 야글롬 유형 극한에 대한 엄밀한 경계를 설정하는 것.

제안 방법

• 생존 확률을 뼈대 입자의 위치를 추적하는 마팅게일 V(t)를 포함한 기댓값으로 변환하기 위해 뼈대 분해를 사용한다.
• V(t)/V(0)를 라돈-니코다이 미분으로 정의한 새로운 측도 Qx를 정의하며, 여기서 뼈대 입자는 Bessel-3 과정을 따른다.
• Qx 하에서 총 무게의 역수 ∑u Yu(t)e^{ρYu(t)}를 분석하여 Kε를 특성화하고, 이에 따라 조건부 기댓값을 기술한다.
• 시간 반전 Bessel 다리와 척도 근사법을 사용하여 입자 위치의 尾행동을 제어하고 Qx 기댓값에 대한 경계를 도출한다.
• Bessel 과정에 대한 대규모 변동 추정과 반복 로그 법칙을 적용하여 뼈대 입자가 일반적인 경로에서 벗어나지 않는 희귀 사건을 제어한다.
• Qx[1/∑u Yu(t)e^{ρYu(t)}]에 대한 추정을 통해 생존 확률에 대한 상한과 하한을 유도하며, 이로 인해 1/√ε에 대한 지수적 경계를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드라이프 ρ가 √2에서 위로 임계값으로 수렴함에 따라 생존 조건 하에서 입자 수의 기대값은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 임계점에 가까운 영역에서 조건부 기댓값의 정밀한 지수적 성장률은 무엇인가?
• RQ3 희귀 사건—즉, 비정상적으로 많은 수의 입자가 생존하는 경우—는 생존자 수의 기대값에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 마팅게일 및 뼈대 기법을 사용하여 약간의 초임계적 영역에서의 생존 확률을 경계할 수 있는가?
• RQ5 뼈대 입자의 경로는 생존 확률의 점근적 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• ε → 0 일 때, 생존 조건 하에서 장기적으로 입자 수의 기댓값은 exp(Θ(1/√ε))의 척도로 증가한다. 여기서 ε = ρ²/2 − 1 이고, ρ = √2 + 2ε 이다.
• 양수 상수 C1과 C2가 존재하여 lim_{t→∞} E^x_−ρ[N^−ρ_t | N^−ρ_t > 0] 가 exp(C1/√ε) 와 exp(C2/√ε) 사이에 유계임을 보여준다.
• 생존 확률의 점근적 행동는 Kε로 특성화되며, t → ∞ 일 때 Kε ∼ √(2πt³) / (E^x_−ρ[N^−ρ_t] e^{−εt + ρx}) 를 만족한다.
• 증명은 마팅게일의 역수를 포함한 기댓값으로 생존 확률을 재작성하는 뼈대 분해에 의존한다.
• 조건부 기댓값의 상한과 하한은 뼈대의 경로 분석과 Bessel 다리 추정을 사용한 분산 제어를 통해 도출된다.
• 분석 결과, 기댓값은 뼈대 입자가 좁은 영역에 머무르는 희귀 경로에 의해 지배되며, 일반적인 실현에서는 기댓값이 암시하는 것보다 훨씬 적은 수의 입자가 존재할 가능성이 높다.