[논문 리뷰] A zero-one law for uniform Diophantine approximation in Euclidean norm

Dmitry Kleinbock, Anurag Rao|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 30.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유클리드 노름에서 균일 디오판틴 근사에 대한 0-1 법칙을 유니모듈라 격자 공간 위의 대각 흐름에 대한 수축 목표 문제를 분석하여 수립한다. 수체기하학과 동역학계 이론의 도구를 사용하여, 주어진 근사 함수 ψ에 대해 특정 노름 기반 부등식을 만족하는 실수 α의 집합은 관련 급수의 수렴 또는 발산 여부에 따라 전체 또는 영 륙도를 가짐을 증명한다. 이는 이전에 초등노름의 경우에 얻어진 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

We study a norm sensitive Diophantine approximation problem arising from the work of Davenport and Schmidt on the improvement of Dirichlet's theorem. Its supremum norm case was recently considered by the first-named author and Wadleigh, and here we extend the set-up by replacing the supremum norm with an arbitrary norm. This gives rise to a class of shrinking target problems for one-parameter diagonal flows on the space of lattices, with the targets being neighborhoods of the critical locus of a suitably scaled norm ball. We use methods from geometry of numbers and dynamics to generalize a result due to Andersen and Duke on measure zero and uncountability of the set of numbers for which Minkowski approximation theorem can be improved. The choice of the Euclidean norm on $\mathbb{R}^2$ corresponds to studying geodesics on a hyperbolic surface which visit a decreasing family of balls. An application of a dynamical Borel-Cantelli lemma of Maucourant produces a zero-one law for improvement of Dirichlet's theorem in Euclidean norm.

연구 동기 및 목표

• 초등노름에서의 균일 디오판틴 근사에 대한 0-1 법칙을 초등노름에서 임의의 노름, 특히 유클리드 노름으로 확장하기.
• R²에서의 격자 공간 위의 일파람 대각 흐름에 대한 수축 목표 문제 분석하기.
• 노름 민감성 근사 부등식을 만족하는 실수의 집합의 측도 이론적 행동 특성 규명하기.
• 안데르센과 데이크의 민코프스키 정리 향상 및 디오판틴 근사에서 측도 0 집합에 대한 결과를 일반화하기.
• 유클리드 노름 설정에서의 근사에 대해 동역학적 보렐-칸텔리 보조정리 프레임워크 수립하기.

제안 방법

• R²에서의 유니모듈라 격자 공간 위의 대각 흐름에 대한 수축 목표 문제로 디오판틴 근사 문제 모델링하기.
• 유니포텐트 흐름 u_α 가 격자에 작용함으로써 근사 조건을 척도화된 노름 구 안의 격자 벡터 포함 조건으로 변환하기.
• 모코르랑의 동역학적 보렐-칸텔리 보조정리를 적용하여 근사 부등식을 만족하는 α의 집합에 대한 0-1 법칙 도출하기.
• 수체기하학 기법을 사용하여 노름 구의 임계 위치 분석하고 파라보릭 부분군의 리 대칭과의 교차성 검증하기.
• 노름 구의 경계의 국소 매개변수화의 미분 분석을 통해 상삼각 행렬의 리 대칭에 의해 생성되는 분포와의 교차성 증명하기.
• 마할러의 정리를 사용하여 임계 결정행렬이 동일한 임계 결정행렬을 가진 일반적인 볼록체 B에 임계 기저 B'를 통합함으로써 가역 케이스를 비가역 케이스로 환원하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초등노름에서 알려진 결과와 유사하게, 유클리드 노름에서 균일 디오판틴 근사에 대해 0-1 법칙이 성립하는가?
• RQ2 모든 큰 t에 대해 (αq−p)²/ψ(t)² + (q/t)² < 2/√3 를 만족하는 비자명한 정수 해가 존재하는 실수 α의 집합의 측도 이론적 행동(전체 또는 영 륙도)은 무엇인가?
• RQ3 특히 그 임계 위치가 중요한 노름 구의 기하학은 격자 공간 위의 대각 흐름의 동역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 특히 유클리드 노름에서, 동역학적 보렐-칸텔리 보조정리에 필요한 교차성 조건을 일반 노름에 대해 확립할 수 있는가?
• RQ5 볼록체의 임계 결정행렬이 그 임계 격자 위치의 구조를 어느 정도 결정하는가?

주요 결과

• 모든 큰 t에 대해 (αq−p)²/ψ(t)² + (q/t)² < 2/√3 를 만족하는 비자명한 정수 해가 존재하는 실수 α ∈ ℝ 의 집합에 대해 0-1 법칙이 성립하며, 이는 급수 ∑ −log(1−kψ(k))(1/k − ψ(k)) 의 수렴 또는 발산 여부에 따라 달라진다.
• 해당 근사 조건을 만족하는 α의 집합은 급수가 발산하면 전체 륙도를 가지며, 수렴하면 영 륙도를 가진다.
• 유클리드 노름 구의 임계 위치는 상삼각 행렬의 리 대칭에 의해 생성되는 분포와 교차하며, 이는 동역학적 보렐-칸텔리 보조정리를 적용하기 위한 핵심 조건이다.
• 임계 위치의 교차성 조건은 노름 구의 경계에 대한 국소 매개변수화의 미분 분석을 통해 증명되며, 도함수 행렬의 왼쪽 아래 성분이 0이 아니라는 것을 보여준다.
• 가역 볼록체의 경우, 임계 위치는 동일한 임계 결정행렬을 가진 비가역 볼록체의 임계 위치에 포함되며, 이는 비가역 케이스로의 환원을 가능하게 한다.
• 이 결과는 안데르센과 데이크의 민코프스키 정리 향상 및 측도 0 집합에 대한 이전 연구를 유클리드 노름 맥락에서 일반화한다.