[논문 리뷰] ABCD of 3d ${\cal N}=8$ and 4 Superconformal Field Theories

Dongmin Gang, Eunkyung Koh외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 18.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 32인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 3차원 ${\cal N}=8$ 초등방형장이론(SCFT)과 ABCD 게이지 군—$U(N)$, $SO(2N+1)$, $Sp(2N)$, $O(2N)$—을 가진 이론들과, $k=1,2$인 ABJ(M) 초등방형장이론 사이의 이중성을 제안한다. 초등방형지수와 대규모 $N$ 근사에서, 이 양-밀스 이론의 저에너지 고정점과 그 ABJ(M) 이론에 대응하는 고정점 간의 지수 매칭을 통해 이중성을 확인한다. 이는 명시적인 지수 계산과 $AdS_4 \times S^7/\mathbb{Z}_2$ 오르비폭의 중력 이중성을 통한 확인을 포함한다.

ABSTRACT

We argue the equivalence between the infrared conformal field theory of the 3d $\mathcal{N}=8$ supersymmetric Yang-Mills theories of ABCD ($U(N), SO(2N+1), Sp(2N), O(2N)$) gauge groups and the ABJ(M) theories of $U(N)_k imes U( ilde N)_{-k}$ for $k=1,2$. We support this duality by comparing the superconformal index of the IR limit of these super Yang-Mills theories and that of those ABJ(M) models. Especially we find the match between two indices of (mirror dual of) the $\mathcal{N}=8$ U(N) SYM and of $U(N)_1 imes U(N)_{-1}$ ABJM model. Also we take large $N$ limit of ABCD super Yang-Mills theories with additional fundamental hyper-multiplets and infer the large N limit of $\mathcal{N}=8$ ABCD theories themselves, finding the expected gravitational duals. With the additional input on finite N, we argue the equivalence of Yang-Mills and ABJ(M) theories for all N. We further explore similar dualities to Chern-Simons matter theories for $\mathcal{N}=4$ Yang-Mills theories related by mirror symmetry.

연구 동기 및 목표

• 3차원 ${\cal N}=8$ 초등방형장이론(SCFT)과 ABCD 게이지 군을 가진 양-밀스 이론의 저에너지(저에너지) 고정점과 ABJ(M) 초등방형장이론 간의 이중성을 수립하기 위해.
• 각각의 저에너지 SCFT의 초등방형지수를 계산하고 비교함으로써 이 이중성을 테스트하기 위해.
• 거울 대칭을 통해 ${\cal N}=4$ 양-밀스 이론으로의 이중성을 확장하고, 초등방형장이론과 유사한 이중성을 제안하기 위해.
• 유한한 $N$ 에서의 이중성은 힉스링크 한계와 오르비폭의 구조를 분석함으로써 확인하고, 대규모 $N$ 근사에서 중력 이중성과의 일관성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 초등방형지수 형식을 사용하여, 추가적인 기본 히퍼멀티플릿을 가진 ${\cal N}=4$ 거울 dual을 통해 ${\cal N}=8$ $U(N)$ SYM의 초등방형지수를 계산한다.
• 거울 이중성이 없는 관계로, $O(2N)$, $SO(2N+1)$, $Sp(2N)$ SYM 이론에 대해 초등방형지수 형식을 간접적으로 적용한다.
• ABCD SYM 이론에 $m$개의 기본 히퍼멀티플릿을 도입하고, 지수의 대규모 $N$ 근사를 계산한다.
• 대규모 $N$ 양-밀스 이론의 지수를 $AdS_4 \times S^7/\mathbb{Z}_2$ 오르비폭의 지수와 매칭하며, 비틀림 섹터 기여를 포함한다.
• 푸리에 변환 항등식(예: $1/\cosh(\pi\sigma) = \int d\tau \, e^{2\pi i \tau \sigma}/\cosh(\pi\tau)$)을 사용하여 SYM과 ABJ(M) 이론의 분할함수를 연결한다.
• 적분 항등식과 변수 재정의를 통해 ${\cal N}=4$ $U(N)^n$ SYM과 $\mathcal{N}=4$ 초등방형장이론의 분할함수가 동일함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 ${\cal N}=8$ $U(N)$ SYM의 저에너지 고정점은 $U(N)_1 \times U(N)_{-1}$ ABJM 모델과 이중적인가?
• RQ2 3차원 ${\cal N}=8$ $O(2N)$, $SO(2N+1)$, $Sp(2N)$ 게이지 군을 가진 SYM 이론의 저에너지 SCFT는 $k=2$인 ABJ(M) 이론으로 기술될 수 있는가?
• RQ3 대규모 $N$ 근사에서 ${\cal N}=8$ ABCD SYM 이론의 지수는 비틀림 섹터를 포함한 $AdS_4 \times S^7/\mathbb{Z}_2$의 지수와 일치하는가?
• RQ4 ${\cal N}=4$ 양-밀스 이론에서의 거울 대칭은 초등방형장이론으로 이어지며, 이 이중성은 지수 매칭을 통해 확인되는가?
• RQ5 ABCD SYM과 ABJ(M) 이론 간의 이중성은 $N$ 이 유한할 때도 성립하는가? 힉스링크 또는 오르비폭 축소를 통해 확인 가능한가?

주요 결과

• ${\cal N}=8$ $U(N)$ SYM의 초등방형지수는 작은 $N$ 에서 $U(N)_1 \times U(N)_{-1}$ ABJM 모델과 정확히 일치하며, 이는 $N$ 이 유한할 때도 이중성이 성립함을 확인한다.
• ${\cal N}=8$ $O(2N)$ SYM의 저에너지 고정점은 $U(N)_2 \times U(N)_{-2}$ ABJM 모델과 이중적이며, $SO(2N+1)$ SYM 이론은 $U(N)_2 \times U(N+1)_{-2}$ ABJ 이론으로 흐른다.
• $Sp(2N)$ SYM 이론은 두 가지 가능한 이중성을 가진다: $U(N)_2 \times U(N)_{-2}$ 또는 $U(N)_2 \times U(N+1)_{-2}$ ABJ(M) 모델.
• 대규모 $N$ 근사에서 $m$개의 기본 히퍼멀티플릿을 가진 ABCD SYM 이론의 지수는 $\mathbb{Z}_m$ 비틀림 섹터를 포함한 $AdS_4 \times S^7/\mathbb{Z}_2$의 지수와 일치하며, 중력 이중성을 확인한다.
• ${\cal N}=4$ $U(N)^n$ SYM과 $\mathcal{N}=4$ 초등방형장이론의 분할함수는 푸리에 변환 항등식과 변수 재정의를 적용한 후 동일하다.
• 오르비폭된 $AdS_4 \times S^7/\mathbb{Z}_2$ 공간의 장이론 지수와 대규모 $N$ 근사에서 $k=2$인 ABJ(M) 이론의 지수가 일치함으로써, 이 이중성은 이전 문헌에서 테스트된 바와 일치함을 추가로 뒷받침한다.