[논문 리뷰] Abelian extensions of infinite-dimensional Lie groups

Karl‐Hermann Neeb|ArXiv.org|2004. 02. 18.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 46인용 수 43

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 볼록 공간 위에 모델링된 무한차원 리군의 아벨 확장에 대한 코homological 프레임워크를 개발한다. 국소적으로 스무스 코chains를 사용하여 $ H^2_s(G,A) $ 라는 코homology 군을 도입한다. 군 코hom로지와 리대수 코hom로지 사이의 정확한 수열을 수립하고, 주기 및 플럭스 호모모르피즘을 통해 통합 가능성의 장애를 특성화하며, 미분형 군과 기하학적 구조(예: 주기본다발)에의 응용을 포함한다.

ABSTRACT

In the present paper we study abelian extensions of connected Lie groups $G$ modeled on locally convex spaces by smooth $G$-modules $A$. We parametrize the extension classes by a suitable cohomology group $H^2_s(G,A)$ defined by locally smooth cochains and construct an exact sequence that describes the difference between $H^2_s(G,A)$ and the corresponding continuous Lie algebra cohomology space $H^2_c(\g,\a)$. The obstructions for the integrability of a Lie algebra extensions to a Lie group extension are described in terms of period and flux homomorphisms. We also characterize the extensions with global smooth sections resp. those given by global smooth cocycles. Finally we apply the general theory to extensions of several types of diffeomorphism groups.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 볼록 공간 위에 모델링된 연결 리군의 아벨 확장을 코homology적으로 분류하는 것.
• 스무스 $ G $-모듈 $ A $ 를 사용하여 국소적으로 스무스 코chains를 이용해 $ H^2_s(G,A) $ 를 정의하고 연구하는 것.
• 주기 및 플럭스 호모모르피즘을 통해 리대수 확장이 전역 리군 확장으로 통합될 수 없는 장애를 묘사하는 것.
• 전역 스무스 섹션을 갖거나 전역 스무스 코chains에서 유래하는 확장들을 특성화하는 것.
• 이 이론을 미분형 군과 기하학적 구조(예: 주기본다발 및 전량화)에 적용하는 것.

제안 방법

• 국소적으로 스무스 코chains를 사용하여 군의 아벨 확장을 분류하기 위해 코homology 군 $ H^2_s(G,A) $ 를 도입하는 것.
• $ H^2_s(G,A) $ 와 연속 리대수 코hom로지 $ H^2_c(\frak{g},\frak{a}) $ 를 연결하는 정확한 수열을 구성하는 것.
• 리대수 확장이 리군 확장으로 통합될 수 있는지의 장애를 특성화하기 위해 주기 및 플럭스 호모모르피즘을 정의하는 것.
• 군 코chains $ C^p_s(G,U) \times C^q_s(G,V) \to C^{p+q}_s(G,W) $ 에서의 컵곱 구조를 사용하여 코hom로지 위에 곱을 정의하는 것.
• 미분화 사상 $ D $ 를 통해 군 코hom로지와 리대수 코호모로지 간의 호환성을 확립하여 $ D(\alpha \cup \beta) = D\alpha \wedge D\beta $ 를 보이는 것.
• 특정 예시들(예: 다양체의 미분형 군과 $ \lambda $-밀도 모듈)에 이 이론을 적용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 리군의 아벨 확장을 코homology를 통해 어떻게 분류할 수 있는가?
• RQ2 스무스 군 코hom로지 $ H^2_s(G,A) $ 와 연속 리대수 코호모로지 $ H^2_c(\frak{g},\frak{a}) $ 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 리대수 확장이 리군 확장으로 통합되지 못하는 장애는 무엇인가?
• RQ4 언제 아벨 확장이 전역 스무스 섹션을 갖거나 전역 스무스 코chains에서 유래하는가?
• RQ5 이 이론은 어떻게 미분형 군과 주기본다발과 같은 기하학적 구조에 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 국소적으로 스무스 코chains를 사용하여 $ H^2_s(G,A) $ 는 리군 $ G $ 의 스무스 $ G $-모듈 $ A $ 를 통해 아벨 확장을 매개화한다.
• 정확한 수열이 구성되어 $ H^2_s(G,A) $ 와 연속 리대수 코호모로지 $ H^2_c(\frak{g},\frak{a}) $ 를 연결하며, 군 확장과 대수적 확장 간의 차이를 명확히 한다.
• 리대수 확장이 리군 확장으로 통합되는 것은 주기 및 플럭스 호모모르피즘에 의해 장애를 받는다. 이 두 사상이 영이 되는 것과 확장이 통합되는 것은 정확히 동치이다.
• 전역 스무스 섹션을 갖는 확장들은 정확히 전역 스무스 코chains에서 유래하는 확장들과 일치하며, 이를 통해 코homological 특성화가 이루어진다.
• 군 코chains 위의 컵곱은 코hom로지 위에 잘 정의된 곱을 유도하며, 이는 미분화 아래 리대수 컵곱과 호환된다.
• 이 이론은 미분형 군에 적용되었으며, 체적 보존 미분형 군과 $ \lambda $-밀도 모듈을 갖는 원판의 미분형 군을 포함하여 기하학적으로 의미 있는 확장을 도출한다.