[논문 리뷰] Abelian topological groups with host algebras

Hendrik Grundling, Karl‐Hermann Neeb|arXiv (Cornell University)|2006. 05. 16.

Advanced Operator Algebra Research인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비단위 C*-대수의 블랙다어의 무한 텐서곱을 사용하여 가산 무한차원 심플렉틱 공간 (S,B) 위에서의 표준 교환관계(CCRs)를 모델링하는 C*-대수를 구성한다. 이로 얻어진 대수는 아벨군 S의 σ-표현 이론의 호스트 대수로서 기능하며, 그 표현 공간은 정규 표현들로 정확히 이루어져 있어 직접 적분 분해를 통한 기약 표현으로의 분해를 가능하게 한다.

ABSTRACT

The Weyl algebra,- the usual C*-algebra employed to model the canonical commutation relations (CCRs), has a well-known defect in that it has a large number of representations which are not regular and these cannot model physical fields. Here, we construct explicitly a C*-algebra which can reproduce the CCRs of a countably dimensional symplectic space (S,B) and such that its representation set is exactly the full set of regular representations of the CCRs. This construction uses Blackadar's version of infinite tensor products of nonunital C*-algebras, and it produces a host (i.e. a generalised group algebra, explained below) for the \sigma-representation theory of the abelian group S where \sigma(.,.):=e^{iB(.,.)/2}. As an easy application, it then follows that for every regular representation of the Weyl algebra of (S,B) on a separable Hilbert space, there is a direct integral decomposition of it into irreducible regular representations (a known result). An Erratum for this paper is added at the end.

연구 동기 및 목표

• 표준 와일 대수의 결함을 해결하기 위해, 물리적 장 모델에 부적합한 비정규 표현을 포함하는 문제를 해결하고자 한다.
• 가산 무한차원 심플렉틱 공간 위에서 CCRs의 정규 표현들만 정확히 포괄하는 C*-대수를 구성하고자 한다.
• 아벨군 S의 σ-표현 이론에 대한 호스트 대수를 수립하고자 한다. 여기서 σ(x,y) = exp(iB(x,y)/2).
• 모든 정규 표현이 분리 가능한 힐베르트 공간 위에서 기약 성분들로 직접 적분 분해될 수 있도록 철저한 대수적 프레임워크를 제공하고자 한다.

제안 방법

• 비단위 C*-대수의 무한 텐서곱을 블랙다어의 방식으로 이용하여 목표 C*-대수를 구성한다.
• σ(x,y) = exp(iB(x,y)/2)를 만족하는 아벨군 S의 σ-표현 이론에 대한 호스트 대수로 C*-대수를 정의한다.
• 그 대수의 표현들이 (S,B) 위에서 CCRs의 정규 표현들과 정확히 일치하도록 대수를 구성한다.
• 심플렉틱 공간 (S,B)의 구조를 활용하여 교환관계를 exp(iB(x,y)/2)의 지수 인자로 매개변수화한다.
• 표현 공간이 정확히 정규 표현들의 집합이 되도록 하기 위해 호스트 대수 이론을 적용한다.
• 모든 분리 가능한 힐베르트 공간 위의 정규 표현이 기약 정규 표현들의 직접 적분으로 분해됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가산 무한차원 심플렉틱 공간 위에서 CCRs의 정규 표현들만 정확히 포함하는 C*-대수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 비단위 C*-대수의 무한 텐서곱을 어떻게 이용하여 아벨군의 σ-표현에 대한 호스트 대수를 실현할 수 있는가?
• RQ3 구성된 C*-대수는 모든 정규 표현이 기약 성분들로 직접 적분 분해될 수 있도록 허용하는가?
• RQ4 아벨군의 σ-표현 이론에 대한 호스트 대수로 기능하기 위해 C*-대수가 가져야 할 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ5 표준 와일 대수의 결함—비정규 표현을 포함하고 있다는 점—는 새로운 대수적 구성 방법을 통해 체계적으로 제거될 수 있는가?

주요 결과

• 구성된 C*-대수는 아벨군 S의 σ-표현 이론에 대한 호스트 대수로서 기능하며, 여기서 σ(x,y) = exp(iB(x,y)/2).
• C*-대수의 표현 공간은 심플렉틱 공간 (S,B) 위에서 CCRs의 정규 표현들로 정확히 이루어져 있다.
• 분리 가능한 힐베르트 공간 위에서 와일 대수의 모든 정규 표현은 기약 정규 표현들의 직접 적분으로 분해된다.
• 구성 과정은 비단위 C*-대수의 블랙다어의 무한 텐서곱을 이용하여 정확한 표현 구조를 보장한다.
• 결과로 얻어진 대수는 비정규 표현들을 제거하여 표준 와일 대수의 알려진 결함을 해결한다.
• 이 방법은 물리적으로 허용 가능한 표현들만을 사용하여 물리적 장을 모델링하는 표준적 프레임워크를 제공한다.