[논문 리뷰] Abelian varieties over Q with bad reduction in one prime only

René Schoof|ArXiv.org|2005. 02. 16.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 7인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Q 위의 반안정 아벨 다양체를 소수 l를 제외한 곳에서 양호한 균형을 갖는 것으로 분류하며, 비영인 경우가 존재하는 것은 l = 11일 때뿐이며, l = 2, 3, 5, 7, 13일 땐 비영인 반안정 다양체가 존재하지 않음을 증명한다. 또한, l에서 희생적으로 분해가 일어나는 확장에서 반안정 균형을 얻는 아벨 다양체가 존재하는 것은 l = 2, 3, 5일 때뿐이다. 이 결과들은 Z[1/l] 위의 카테고리 C와 D에서 p-거듭제곱 토판 그룹 스킴을 분석하고, 코homological 기준과 p-나누어지는 그룹의 성질을 이용하여 특정 l에 대해 모순을 이끌어내는 데 기반한다.

ABSTRACT

Let l be a prime. We show that there do not exist any non-zero semi-stable abelian varieties over Q with good reduction outside l if and only if l=2, 3, 5, 7 or 13. We show that any semi-stable abelian variety over Q with good reduction outside l=11 is isogenous to a power of the Jacobian variety of the modular curve X_0(11). In addition we show that there do not exist any non-zero abelian varieties over Q with good reduction outside l acquiring semi-stable reduction at l over a tamely ramified extension if and only if l \le 5.

연구 동기 및 목표

• . 이 논문은 Q 위의 반안정 아벨 다양체를 한 소수 l를 제외한 곳에서 양호한 균형을 갖는 것으로 분류하는 것을 목적으로 한다.
• . 비영인 아벨 다양체가 존재하는 소수 l는 무엇인지, 특히 반안정 또는 희생적으로 분해가 일어나는 반안정 균형 조건 하에서 어떤지 조사한다.
• . Q 위의 아벨 다양체가 l를 제외한 곳에서 양호한 균형을 갖는 경우, 그것이 J0(l) 또는 J0(l²)의 거듭제곱과 이소겐하다는 조건을 규명하고자 한다.
• . 비영인 아벨 다양체가 존재하지 않는다는 날카운 수론적 조건을, 아직 증명되지 않은 가정에 의존하지 않고 도출하고자 한다.
• . 그룹 스킴 이론과 갈루아 표현을 이용하여 유한성 및 존재하지 않음 결과를 도출한다.

제안 방법

• . 이 논문은 Z[1/l] 위에서 p-거듭제곱 차수의 유한 평탄 그룹 스킴인 두 카테고리 C와 D를 도입하여, 희생적이고 노름이 없는 인ertia 작용을 포착한다.
• . 비영인 아벨 다양체의 존재하지 않음을 보일 두 기준을 제시한다: 하나는 Z[1/l] 위에서 µp에 대한 Z/pZ의 확장과 관련된 것이고, 다른 하나는 카테고리 C와 D의 단순 대상과 관련된 것이다.
• . 저자는 카테고리 D의 확장을 계산하고, 특히 l = 2,3,5,7,11,13일 때 작은 (p,l) 쌍에 대해 단순 대상을 분류한다.
• . l = 11일 경우, '기이한' 그룹 스킴인 J0(11)의 2- torsion과 같은 것이 존재하여 방법이 다름을 보이며, p-나누어지는 그룹을 통한 별도의 분석이 필요하다.
• . 핵심 기법은 인ertia 작용이 pn- torsion 점 A[pn]에 미치는 영향을 분석하고, l = 2,3,5,7,13일 경우 이러한 그룹 스킴가 상수와 대각화 가능한 그룹 스킴의 확장이어야 하며, dim(A) > 0이면 모순이 발생함을 보이는 것이다.
• . l = 11에 대한 증명은 p-나누어지는 그룹에 관한 정리(정리 8.3)와 필터링에 관한推론을 사용하여, 임의의 H가 G의 거듭제곱과 동형임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 어떤 소수 l에 대해 Q 위의 비영인 반안정 아벨 다양체가 존재하는가? 이 다양체는 l를 제외한 곳에서 양호한 균형을 가져야 한다.
• RQ2 . 어떤 소수 l에 대해 Q 위의 비영인 아벨 다양체가 존재하는가? 이 다양체는 l를 제외한 곳에서 양호한 균형을 가져야 하며, l에서 희생적으로 분해가 일어나는 확장에서 반안정 균형을 얻어야 한다.
• RQ3 . Q 위의 반안정 아벨 다양체 중 l = 11를 제외한 곳에서 양호한 균형을 갖는 것은 모두 J0(11)의 거듭제곱과 이소겐하다고 할 수 있는가?
• RQ4 . l를 제외한 곳에서 양호한 균형을 갖는 아벨 다양체의 p-거듭제곱 토판 그룹 스킴 A[pn]에 대한 구조적 제약 조건은 무엇인가? 이 다양체는 l에서 반안정 또는 희생적으로 분해가 일어나는 반안정 균형을 가져야 한다.
• RQ5 . Z[1/l] 위의 그룹 스킴의 카테고리 C와 D는 이러한 아벨 다양체의 토판 점에 대한 갈루아 작용을 어떻게 분류하는가?

주요 결과

• . Q 위의 반안정 아벨 다양체 중 l를 제외한 곳에서 양호한 균형을 갖는 비영인 다양체가 존재하지 않는 것은 l = 2, 3, 5, 7, 13일 때에 한하여 성립한다.
• . Q 위의 반안정 아벨 다양체 중 l = 11를 제외한 곳에서 양호한 균형을 갖는 것은 모두 J0(11)의 거듭제곱과 이소겐하다.
• . l를 제외한 곳에서 양호한 균형을 갖는 비영인 아벨 다양체 중 l에서 희생적으로 분해가 일어나는 확장에서 반안정 균형을 얻는 것은 l = 2, 3, 5일 때에 한하여 존재하지 않는다.
• . l = 11일 경우, J0(11)의 2- torsion 부분군 스킴은 '기이한' 그룹 스킴이며, 상수와 대각화 가능한 그룹 스킴의 확장과 동형이 아니다.
• . 분류 결과는 카테고리 D와 C에서의 Ext1 그룹에 관한 코homological 기준과, 정수환의 이중 정수환을 갖는 p-나누어지는 그룹의 구조에 기반한다.
• . 결과는 불완전한 가정(예: 일반화된 리만 가설)에 의존하지 않으며, 메스트와 캐일리의 조건부 결과와 대비하여 무조건적이다.