[논문 리뷰] About Decisiveness of Dynamic Probabilistic Models

Alain Finkel, Serge Haddad외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 01.

Formal Methods in Verification인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 상태에 따라 변화하는 전이 가중치를 갖는 시스템을 모델링하기 위해 동적 확률적 카운터 기계(pCM)를 도입한다. 결정성—임의 정밀도로 도달 가능성 확률을 계산하는 데 필수적인 성질—이 일반적으로 결정 불가능함을 증명한다. 이는 일정한 가중치가 존재하는 경우조차도 마찬가지이다. 그러나 일개 카운터 pCM과 다항수 가중치를 갖는 정규 확률적 페트리 넷(pPN)에서는 결정성이 복원되며, 더 넓은 범주인 다항수 가중치를 갖는 pPN에서는 결정성이 불가능한 것으로 나타났다.

ABSTRACT

Decisiveness of infinite Markov chains with respect to some (finite or infinite) target set of states is a key property that allows to compute the reachability probability of this set up to an arbitrary precision. Most of the existing works assume constant weights for defining the probability of a transition in the considered models. However numerous probabilistic modelings require the (dynamic) weight to also depend on the current state. So we introduce a dynamic probabilistic version of counter machine (pCM). After establishing that decisiveness is undecidable for pCMs even with constant weights, we study the decidability of decisiveness for subclasses of pCM. We show that, without restrictions on dynamic weights, decisiveness is undecidable with a single state and single counter pCM. On the contrary with polynomial weights, decisiveness becomes decidable for single counter pCMs under mild conditions. Then we show that decisiveness of probabilistic Petri nets (pPNs) with polynomial weights is undecidable even when the target set is upward-closed unlike the case of constant weights. Finally we prove that the standard subclass of pPNs with a regular language is decisive with respect to a finite set whatever the kind of weights.

연구 동기 및 목표

• 전이 가중치가 상태와 전이에 모두 의존하는 동적 확률 모델을 형식화하여, 정적 가중치를 초월한 모델링을 수행한다.
• 특히 확률적 카운터 기계(pCM)와 확률적 페트리 넷(pPN)에서 결정성의 결정 가능성을 조사한다.
• 일반적인 경우에서 결정 불가능성에도 불구하고 결정성이 가능해지는 하위클래스를 규명한다.
• 무한 상태 모델에서 마코프 체인의 재귀성과 구조적 성질 간의 관계를 결정성과 연결한다.

제안 방법

• 전이 확률이 상태 및 전이에 의존하는 가중치에서 유도되는 동적 확률적 카운터 기계(pCM)를 도입한다.
• 카운터 기계의 정지 문제에서의 축소를 통해, 일정한 가중치가 존재하는 경우조차도 pCM의 결정성에 대해 결정 불가능성을 증명한다.
• 다항수 가중치를 갖는 동종 확률적 카운터 기계(pHM)라는 pCM의 하위클래스를 정의하며, 온건한 조건 하에서 결정성이 가능해짐을 보인다.
• 카운터 기계의 정지 문제를 다항수 가중치를 갖는 pPN에서의 도달 가능성 문제로 축소하기 위해 약한 시뮬레이션 기법을 사용하여, pPN의 결정성 불가능성을 증명한다.
• 유한한 마킹 분석을 통해 계산 가능한 경계 B(N, m0)를 적용하여 정규 pPN의 경우 유한한 마코프 체인을 구성함으로써 결정 가능성 증명을 수행한다.
• B(N, m0) 기반으로 도달 가능한 마킹을 제한하여 유한한 그래프를 구성함으로써 종료성을 보장하고, 하위강결합성 컴ponent(BSCC) 분석이 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 동적 가중치를 갖는 동적 확률적 카운터 기계(pCM)에서 결정성이 결정 가능한가?
• RQ2 상태 및 카운터 값의 다항함수로 표현되는 전이 가중치를 갖는 일개 카운터 pCM에서 결정성이 결정 가능한가?
• RQ3 다항수 가중치를 갖는 확률적 페트리 넷(pPN)에서 결정성이 결정 가능한가, 특히 목표 집합이 유한하거나 상향폐쇄일 경우에 대해?
• RQ4 정규 언어를 갖는 pPN의 표준 하위클래스는 가중치 함수 유형에 관계없이 항상 결정성을 갖는가?

주요 결과

• 카운터 기계의 정지 문제에서의 축소를 통해, 전이 가중치가 일정한 경우조차도 일반 pCM의 결정성이 결정 불가능함을 증명한다.
• 일개 카운터 pCM이 다항수 가중치를 갖는 경우, 온건한 조건 하에서 결정성이 가능해지며, 이를 바탕으로 새로운 결정 가능 하위클래스인 동종 확률적 카운터 기계(pHM)를 규명한다.
• 다항수 가중치를 갖는 pPN의 결정성은 결정 불가능하며, 이는 일정한 가중치에서의 알려진 결정 가능성과 대조된다.
• 정규 언어를 갖는 pPN(즉, 정규 마킹 페트리 넷)의 경우, 어떤 가중치 함수 유형이든 목표 마킹이 유한할 경우 결정성이 보장된다.
• 다항수 가중치를 갖는 pPN의 결정성 불가능성 증명은 동적 가중치를 갖는 확률적 넷을 사용한 새로운 약한 시뮬레이션 기법에 기반한다.
• 정규 pPN의 경우 계산 가능한 경계 B(N, m0)를 활용해 유한한 마코프 체인을 구성할 수 있으며, 이를 통해 BSCC 분석을 통한 정확한 도달 가능성 확률 계산이 가능하다.