[논문 리뷰] Absence of true localization in many-body localized phases

Maximilian Kiefer-Emmanouilidis, R. G. Unanyan외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 01.

Quantum many-body systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 불순물이 있는 양자 스핀 사슬에서 다체 국소화(MBL) 상태가 진정으로 국소화되어 있지 않음을 수치적 증거로 제시한다. 강한 불순물 조건에서도 입자 수 엔트로피 $ S_N \sim \ln\ln t $ 가 시간이 지남에 따라 느리게 지속적으로 증가함을 보이며, 이는 표준 MBL 그림과는 정면으로 배치된다. 즉, $ S_N $ 가 포화되지 않고 계속 증가하므로, 열역학적 한계에서 강한 불순물 조건에도 불구하고 시스템이 에르고딕성을 유지하고 있음을 시사한다.

ABSTRACT

We have recently shown that the logarithmic growth of the entanglement entropy following a quantum quench in a many-body localized (MBL) phase is accompanied by a slow growth of the number entropy, $S_N\sim\ln\ln t$. Here we provide an in-depth numerical study of $S_N(t)$ for the disordered Heisenberg chain and show that this behavior is not transient and persists even for very strong disorder. Calculating the truncated Rényi number entropy $S_N^{(α)}(t)=(1-α)^{-1}\ln\sum_n p^α(n)$ for $α\ll 1$ and $p(n)>p_c$ -- which is sensitive to large number fluctuations occurring with low probability -- we demonstrate that the particle number distribution $p(n)$ in one half of the system has a continuously growing tail. This indicates a slow but steady increase of the number of particles crossing between the partitions in the interacting case, and is in sharp contrast to Anderson localization, for which we show that $S_N^{(α o 0)}(t)$ saturates for any cutoff $p_c>0$. We show, furthermore, that the growth of $S_N$ is $\mathit not$ the consequence of rare states or rare regions but rather represents typical behavior. These findings provide strong evidence that the interacting system is never fully localized even for very strong but finite disorder.

연구 동기 및 목표

• MBL 상태에서 엔트로피의 로그적 증가가 지속적인 입자 수 엔트로피 $ S_N $ 의 증가를 수반하는지, 즉 국소화가 불완전한지를 조사하는 것.
• 관측된 $ S_N \sim \ln\ln t $ 행동이 일시적인 현상인지, 강한 불순물 조건에서 지속되는지 확인하여 희귀 영역이나 유한한 크기의 효과를 배제하는 것.
• 입자 수 엔트로피 $ S_N $ 의 증가가 MBL 상태의 일반적인 특성인지, 아니면 에르고딕-MBL 전이 근처의 희귀 상태 때문인지 평가하는 것.
• 유한한 크기로의 외삽을 통한 $ S_N $ 포화값의 신뢰성 평가 및 이전에 $ S_N $ 가 감소하는 것으로 보고된 결과가 국소화의 증거로 간주된 것의 오해를 도전하는 것.

제안 방법

• 시스템 크기 $ L = 24 $ 까지의 불순물 헤이젠베르크 사슬에 대한 정확한 대각화를 통한 수치 계산으로, 불순물 강도는 추정된 임계값의 두 배까지 적용.
• $ \alpha \ll 1 $ 인 경우에 대해 잘라낸 레니 엔트로피 $ S_N^{(\alpha)}(t) = (1 - \alpha)^{-1} \ln \sum_n p^n(n) $ 를 계산하여, 입자 수 분포의 천천히 증가하는 尾(꼬리)를 탐지하기 위해 큰 $ p(n) $ 에 초점을 맞춘다.
• 한 부분계에서 입자 수의 전체 확률 분포 $ p(n) $ 를 분석하여, 지속적인 증가하는 꼬리가 나타나는지 확인함으로써, 지속적인 입자 이동의 징후를 찾는다.
• 이중 로그적 피팅 $ S_N(t) \approx (\nu/2)\ln\ln t + b $ 를 사용하여 포화값을 외삽하고, 수치 정밀도의 한계를 고려하여 $ t_{\text{sat}} \sim \exp(L) $ 를 추정한다.
• 비상호작용, 비대칭 불순물 모델과의 비교를 통해 관측된 행동이 적합성 또는 특수 대칭성의 산물이 아니라는 것을 확인한다.
• 다양한 불순물 강도와 시스템 크기에서 $ S_N(t) $ 를 체계적으로 분석하여 척도 행동과 유한한 크기 데이터에서의 비단조화성을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 MBL 상태에서 입자 수 엔트로피 $ S_N $ 는 시간이 지남에 따라 무한히 증가하는가, 아니면 결국 포화되는가?
• RQ2 관측된 $ S_N \sim \ln\ln t $ 증가가 일시적인 효과인지, 강한 불순물 조건에서 MBL 상태의 견고한 특성인지?
• RQ3 지속적인 $ S_N $ 증가가 희귀 영역이나 희귀 상태 때문인지, 아니면 MBL 상태에서 일반적인 행동인지?
• RQ4 유한한 크기로의 외삽을 통한 $ S_N $ 포화값의 추정은 국소화를 신뢰할 수 있는 지표로 간주될 수 있는가, 아니면 비단조화적인 척도 행동으로 인해 $ S_N $ 이 시스템 크기 증가에 따라 감소하는 것으로 보이는 것이 오해의 소지가 있는가?
• RQ5 $ \alpha \to 0 $ 인 경우 $ S_N^{(\alpha)} $ 의 행동은 상호작용이 있는 MBL 시스템과 비상호작용 안드레아슨 국소화 시스템 간에 어떻게 다를까?

주요 결과

• 입자 수 엔트로피 $ S_N(t) $ 는 불순물 강도가 추정된 임계값의 두 배일지라도, 장기간에 걸쳐 $ \ln\ln t $ 의 속도로 증가함을 보이며, 지속적인 입자 수 변동을 시사한다.
• 한 부분계에서 입자 수 분포 $ p(n) $ 는 지속적으로 증가하는 꼬리를 형성하며, 이는 부분계 경계를 넘는 지속적인 입자 이동의 징후이다.
• $ \alpha \ll 1 $ 인 잘라낸 레니 입자 수 엔트로피 $ S_N^{(\alpha)} $ 는 지속적인 증가를 보이며, 낮은 확률을 가진 큰 수의 변동이 일시적인 것이 아니라 시간이 지남에 따라 누적됨을 확인한다.
• 안드레아슨 국소화와는 달리, $ p_c > 0 $ 인 모든 경우에 대해 $ S_N^{(\alpha \to 0)} $ 가 포화되는 것과는 달리, 상호작용이 있는 MBL 시스템은 이러한 포화가 없음을 보이며, 국소화 행동의 근본적인 차이를 시사한다.
• $ S_N $ 포화값의 유한한 크기 척도는 비단조화적이며 명확한 척도 함수를 가지지 않아 현재 방법으로는 열역학적 한계로의 신뢰할 수 있는 외삽이 불가능하다.
• 관측된 행동은 희귀 영역이나 전이 근처의 희귀 상태 때문이 아니라, MBL 상태에서 일반적인 동역학을 반영하며, 열역학적 한계에서 진정된 MBL 상태의 존재를 도전한다.