[논문 리뷰] Absolute ruin in the Ornstein-Uhlenbeck type risk model

Ronnie Loeffen, Pierre Patie|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 11.

Probability and Risk Models참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일정 이자율과 서브도미네이터 클레임을 가진 오르누슈타인-울렌벡 유형의 리스크 프로세스의 전이 밀도에 대한 스펙트럼 표현을 수립하여 유한 시간 절대 파산 확률과 제1통과 시간에 대한 정확한 표현을 가능하게 한다. 주요 기여는 리베 미 measure의 정규 변동 조건 하에서, 과정의 극한 분포를 사용한 파산 확률의 급수 전개이다.

ABSTRACT

We start by showing that the finite-time absolute ruin probability in the classical risk model with constant interest force can be expressed in terms of the transition probability of a positive Ornstein-Uhlenbeck type process, say X. Our methodology applies to the case when the dynamics of the aggregate claims process is a subordinator. From this expression, we easily deduce necessary and sufficient conditions for the infinite-time absolute ruin to occur. We proceed by showing that, under some technical conditions, the transition density of X admits a spectral type representation involving merely the limiting distribution of the process. As a by-product, we obtain a series expansions for the finite-time absolute ruin probability. On the way, we also derive, for the aforementioned risk process, the Laplace transform of the first-exit time from an interval from above. Finally, we illustrate our results by detailing some examples.

연구 동기 및 목표

• 일정 이자율과 서브도미네이터 클레임을 가진 오르누슈타인-울렌벡 유형 리스크 모델에서의 유한 시간 절대 파산 확률에 대한 명시적 표현을 도출한다.
• 관련된 OU 유형 프로세스의 전이 역학을 기반으로 무한 시간 절대 파산을 위한 필요 및 충분 조건을 수립한다.
• 오직 극한 분포만을 사용하여 OU 유형 프로세스의 전이 밀도에 대한 스펙트럼 유형 표현을 개발한다.
• 구간에서의 제1외출 시간의 라플라스 변환을 도출하여 파산 시간 분석을 지원한다.
• 리베 미 measure에 대한 정규 변동 가정 하에서 파산 확률에 대한 명시적 급수 전개를 제공한다.

제안 방법

• 측도 $\mathbb{P}_x^{(r,c)}$ 하에서 양의 오르누슈타인-울렌벡 유형 프로세스 $\hat{X}$ 의 전이 확률을 사용하여 유한 시간 절대 파산 확률을 표현한다.
• 서브도미네이터 $Z$ 를 사용하여 $\mathrm{d}X_t = (rX_t + c)\mathrm{d}t - \mathrm{d}Z_t$ 의 확률적 미분 방정식을 사용하여 이자와 클레임을 가진 리스크 프로세스를 모델링한다.
• 제1통과 시간의 밀도를 도출하기 위해 푸리에 역변환과 라플라스 변환 기법을 적용한다. 이는 절대 파산 수준인 $-c/r$ 이하의 수준이다.
• 특성 함수 분석과 카라마타의 타우버ian 및 아벨 정리를 적용하여 $\hat{X}$ 의 전이 밀도에 대한 스펙트럼 표현을 수립한다.
• 리베 미 measure $\nu$ 가 무한대에서 정규 변동성을 가지며, $\nu(x,\infty) \sim x^{-\alpha}\ell(x)$ 를 만족한다고 가정하여 특성 함수의 점근적 행동을 유도한다. 여기서 $\alpha \in (0,1)$ 이다.
• 특성 함수의 역푸리에 변환을 통해 파산 확률에 대한 급수 전개를 유도한다. 이는 $t > -\frac{1}{r\alpha}\log\cos(\frac{\pi\alpha}{2})$ 에서 유효하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일정 이자율과 서브도미네이터 클레임을 가진 OU 유형 리스크 모델에서 절대 파산은 유한 시간 또는 무한 시간에 어떤 조건에서 발생하는가?
• RQ2 관련된 OU 유형 프로세스의 전이 밀도는 오직 그 극한 분포만을 사용하여 스펙트럼적으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 이 리스크 프로세스에 대해 구간에서의 제1외출 시간의 라플라스 변환은 무엇인가?
• RQ4 리베 미 measure의 정규 변동 조건 하에서, 파산 확률은 어떻게 수렴 급수로 표현될 수 있는가?
• RQ5 리베 미 measure의 꼬리가 정규 변동성을 보일 경우, 파산 확률의 점근적 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 유한 시간 절대 파산 확률은 이중 OU 유형 프로세스의 전이 밀도와 지수 감쇠 항 $\mathrm{e}^{-rnt}$ 를 포함한 급수로 표현된다.
• 극한 분포와 푸리에 역변환 정리를 사용하여 $\hat{X}$ 의 전이 밀도에 대한 스펙트럼 표현이 유도되었으며, 이는 $t > -\frac{1}{r\alpha}\log\cos(\frac{\pi\alpha}{2})$ 에서 유효하다.
• 프로세스의 특성 함수를 통해 구간에서의 제1외출 시간의 라플라스 변환을 도출하였으며, 이는 파산 시간 분포의 추가 분석을 가능하게 한다.
• 리베 미 measure가 $\nu(x,\infty) \sim x^{-\alpha}\ell(x)$ 를 만족하고 $\alpha \in (0,1)$ 이면, 특성 함수 $\varphi_r(\mathrm{i}u)$ 는 점근적으로 $u^\alpha \ell(u) \frac{\Gamma(1-\alpha)}{\alpha} \cos(\frac{\pi\alpha}{2})$ 와 같이 행동한다.
• 조건 $v^\alpha < \cos(\frac{\pi\alpha}{2})$ 하에서 파산 확률에 대한 급수 전개는 절대 수렴하며, 이는 푸리에 역변환에 대한 적분 가능성 보장을 한다.
• OU 유형 프로세스의 극한 분포는 스펙트럼 분해를 통해 전체 전이 밀도를 재구성하는 데에 충분하며, 이는 레비 프로세스 이론에서 비현실적인 결과이다.