[논문 리뷰] Absolute versus Relational Debate: a Modern Global Version

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 24.

Post-Soviet Geopolitical Dynamics참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 대칭적인 절대 공간 기반의 관계 이론—예를 들어 케니델 유형의 형태 이론과 일반 상대성 이론의 슈퍼스페이스—가 자동형군을 몫으로 나눈 후에도 잔류 대칭 기억으로 인해 분할 구조(stratification)를 겪는다고 주장한다. 반면, 비자명한 일반화된 칠링 벡터를 갖지 않는 일반적인 절대 공간을 채택할 경우, 분할 구조는 사라지며, 이는 단순하고 비분할된 구성 공간으로 이어진다; 이는 현실적인 비대칭 캐리어 공간을 더 잘 반영하는 국소적이고 근사적인 형태 이론으로의 전환을 촉진한다.

ABSTRACT

Suppose one seeks to free oneself from a symmetric absolute space by quotienting out its symmetry group. This in general however fails to erase all memory of this absolute space's symmetry properties. Stratification is one major reason for this, which is present in both a) Kendall-type Shape Theory and subsequent Relational Mechanics, and b) General Relativity configuration spaces. We consider the alternative starting point with a generic absolute space, meaning with no nontrivial generalized Killing vectors whatsoever. In this approach, generically Shape-and-Scale Theory is but trivially realized, there is no separate Shape Theory and indeed no stratification. While the GR configuration space version of these considerations was already expounded in 1996 by Fischer and Moncrief, the Kendall-type shape theory version is new to the current article. In each case, this amounts to admitting some small deformation by which symmetry's hard consequences at the level of reduced configuration spaces are warded off.We end by discussing the senses in which each of the above two strategies retain absolutist features, each's main known technical advantages and disadvantages, and the desirability of replacing Kendall-type Shape Theory with a Local-and-Approximate Shape Theory. This article is in honour of Prof. Niall ó Murchadha, on the occasion of his Festschrift.

연구 동기 및 목표

• 대칭적인 절대 공간에서 유도된 관계 이론—예를 들어 형태 이론과 일반 상대성 이론에서의 문제를 다루는 데 목적이 있다.
• 비자명한 일반화된 칠링 벡터를 갖지 않는 일반적인 절대 공간은 분할 구조를 제거하여 단순하고 비분할된 구성 공간을 이룬다.
• 두 접근 방식—대칭 공간의 몫 취하기(분할 구조 존재)와 일반 공간 사용(비분할 구조)—의 기술적 우월성과 잔류 절대주의적 특성을 대비한다.
• 전역적이고 정확한 관계 이론을 국소적이고 근사적인 형태 이론으로 대체하여 현실적인 비대칭 물리 공간을 더 잘 반영한다.
• 피셔-몬크리프의 일반 상대성 이론 슈퍼스페이스 분석을 일반화된 케니델 유형의 관계 이론과 형태 통계의 영역으로 확장한다.

제안 방법

• 대칭 몫 취하기가 절대 공간 기하학의 기억을 완전히 제거하지 못하는 실패 원인을 규명하기 위해 두 가지 근본 원인을 식별한다: 일반화된 칠링 방정식의 위상 구조에 대한 전역적 민감도와 몫 공간의 분할 구조.
• 야노의 프레임워크에서 유도된 일반화된 칠링 벡터 개념을 적용하여 다양한 기하군(Euclidean, similarity, affine, projective)에서 구성 공간의 대칭 잔유를 분석한다.
• 분할 없이 작동하는 원과 직선이라는 두 모델을 비교함으로써 위상의 역할을 분리하여, 이전의 비분할 케이스 연구를 보완한다.
• 1996년 피셔와 몬크리프의 일반 상대성 이론 슈퍼스페이스 및 등각 슈퍼스페이스 분석을 확장하여, 일반 다각형이 자명한 이소트로피 군으로 인해 분할 구조를 피함을 보여준다.
• 국소적이고 근사적인 형태 이론의 개념을 도입하여, 근사 대칭(예: 근사 칠링 벡터)과 평탄한 차트가 전역 정확한 대칭을 대체한다.
• 구형 또는 컴act한 공간(S^d, T^d) 위의 소규모 형태는 R^d 위의 형태를 근사적으로 반영해야 하며, 제어 가능한 겹침과 근사 불변량인 케니델의 ε-공선성 같은 요소를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 관계 이론에서 대칭군을 몫으로 나눌 때, 원래 절대 공간 기하학의 기억이 완전히 제거되지 않는 이유는 무엇인가?
• RQ2 비자명한 일반화된 칠링 벡터를 갖지 않는 일반적인 절대 공간은 R^n과 같은 대칭 공간에서 야기되는 분할 구조를 어떻게 피하는가?
• RQ3 일반적인 구성 공간에서의 분할 구조 부재가 관계 역학과 형태 이론의 수식화에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 관계 물리학에서 대칭 공간 대비 일반 공간을 사용할 경우의 기술적 및 개념적 우월성은 무엇인가?
• RQ5 현실적인 비대칭 물리적 환경에서 정확한 전역 관계 이론을 대체할 수 있는 국소적이고 근사적인 형태 이론을 엄밀하게 수립할 수 있는가?

주요 결과

• 비자명한 일반화된 칠링 벡터를 갖지 않는 일반적인 절대 공간은 R^n과 같은 대칭 공간과 달리 분할 없이 단순한 구성 공간을 제공한다.
• 분할 구조는 몫 공간에서 비자명한 이소트로피 군과 위상적 제약 조건으로 인해 발생하며, 대칭 감소 후에도 지속된다.
• 1996년 피셔-몬크리프의 일반 상대성 이론 슈퍼스페이스 및 등각 슈퍼스페이스 분석을 확장하여, 일반 다각형이 자명한 자기 동형군으로 인해 분할 구조를 피함을 보여준다.
• 케니델 유형의 형태 이론 및 그 일반화는 일반 공간에서 자명하게 실현되며, 별개의 형태나 척도 구조가 없고, 분할 구조도 존재하지 않는다.
• 유한한 점 입자 관계 이론은 모든 가능한 캐리어 공간의 공간에서 측도가 0이므로, 대칭 모델은 특수한 경우일 뿐 일반적이지 않다.
• 국소적이고 근사적인 형태 이론이 타당한 대안으로 제안되며, T^d나 S^d 위의 소규모 형태는 평탄한 차트와 근사 불변량인 ε-공선성 등을 사용해 R^d 위의 형태를 근사한다.