[논문 리뷰] Absorbing Cantor sets in dynamical systems: Fibonacci maps

Henk Bruin, Gerhard Keller외 2명|ArXiv.org|1994. 01. 29.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 [0,1]에서 비재규격화 가능한 단조 다항사상에서 임계점의 ω-극한집합이 칸토어 집합이지만, 르베그 거의 모든 점에서의 ω-극한집합이 임계점의 것과 일치하는 사상을 구성한다. 이는 비재규격화 가능하고 잔여집합의 점들이 구간 형태의 ω-극한집합을 가지는 바에 걸쳐, 위상적 및 측도론적 급진집합이 다름을 보여주는 것으로, 밀너의 질문을 해결한다.

ABSTRACT

In this paper we shall show that there exists a polynomial unimodal map f: [0,1] -> [0,1] which is 1) non-renormalizable(therefore for each x from a residual set, $ω(x)$ is equal to an interval), 2) for which $ω(c)$ is a Cantor set, and 3) for which $ω(x)=ω(c)$ for Lebesgue almost all x. So the topological and the metric attractor of such a map do not coincide. This gives the answer to a question posed by Milnor.

연구 동기 및 목표

• 단조 동역계에서 위상적 급진집합과 측도론적 급진집합의 차이에 관해 밀너가 제기한 질문을 해결하기 위해.
• 임계점의 ω-극한집합이 칸토어 집합이 되는 [0,1]에서의 비재규격화 가능한 단조 사상을 구성하기 위해.
• 르베그 거의 모든 점에서의 ω-극한집합이 임계점의 것과 동일한데도, 잔여집합의 점들이 구간 형태의 ω-극한집합을 가짐을 보여주기 위해.
• 이러한 시스템에서 위상적 급진집합(반복점의 폐포)과 측도론적 급진집합(불변 측도의 지지집합)이 일치하지 않음을 보여주기 위해.
• 임계점의 ω-극한집합이 칸토어 집합일 경우 비재규격화 가능한 사상이 반드시 구간 급진집합을 가져야 한다는 추측에 대한 반례를 제공하기 위해.

제안 방법

• 피보나치 유사 조합 구조를 갖는 특정 다항 단조 사상 f: [0,1] → [0,1]을 구성하여 비재규격화 가능성을 확보하기 위해.
• 피보나치 조합 구조를 활용해 임계점 근처에서의 복귀 시간과 척도 행동을 제어하기 위해.
• 실해석학 및 구간 동역계 기법을 적용하여 임계점의 ω-극한집합이 칸토어 집합임을 검증하기 위해.
• 왜곡 추정과 수축하는 이웃집합을 이용해, 임계점의 ω-극한집합과 동일한 집합을 갖는 점들의 집합이 르베그 측도가 전임임을 증명하기 위해.
• 비재규격화 가능성과 주기점의 조밀성을 활용해 잔여집합의 점들이 구간 형태의 ω-극한집합을 갖는다는 것을 확립하기 위해.
• 위상적 동역계와 측도론적 추론을 융합하여 위상적 급진집합과 측도론적 급진집합을 구분하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비재규격화 가능한 단조 사상에서 임계점의 ω-극한집합이 칸토어 집합일 수 있는가?
• RQ2 이러한 사상에서 거의 모든 점이 임계점과 동일한 ω-극한집합을 갖는 것이 가능한가?
• RQ3 비재규격화 가능한 단조 시스템에서 위상적 급진집합과 측도론적 급진집합이 일치하지 않을 수 있는가?
• RQ4 잔여집합의 점들이 구간 형태의 ω-극한집합을 갖는다는 사실이, 거의 모든 점이 칸토어 집합 급진집합을 갖는 것을 막는가?
• RQ5 비재규격화 가능한 사상이 어떻게 칸토어 집합 급진집합을 지닐 수 있으며, 同시에 거의 모든 점이 그 집합으로 수렴하게 할 수 있는 동역학적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 임계점의 ω-극한집합이 칸토어 집합이 되는 비재규격화 가능한 단조 다항사상 f: [0,1] → [0,1]이 존재한다.
• 르베그 거의 모든 x ∈ [0,1]에서 ω(x) = ω(c)이 성립하므로, 측도론적 급진집합은 칸토어 집합이다.
• 칸토어 집합이 거의 모든 점의 ω-극한집합이 되는 바, 잔여집합의 점들은 여전히 구간 형태의 ω-극한집합을 갖는다.
• 위상적 급진집합(반복점의 폐포)은 측도론적 급진집합(불변 측도의 지지집합)보다 엄격히 크며, 이는 칸토어 집합이다.
• 이 구성은 임계점의 ω-극한집합이 칸토어 집합일 경우 비재규격화 가능한 사상이 반드시 구간 급진집합을 가져야 한다는 주장에 대한 반례를 제공한다.
• 결과적으로 위상적 급진집합과 측도론적 급진집합이 비재규격화 가능한 단조 시스템에서 다를 수 있음을 확인하며, 밀너의 질문을 해결한다.