[논문 리뷰] Abstract factorials

Angelo B. Mingarelli|arXiv (Cornell University)|2007. 05. 29.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양의 정수의 부분집합 위에서 일반적인 추상 계승의 프레임워크를 제안하며, 계승 집합을 통해 정의하고, 이러한 추상 계승의 역수 합이 항상 무리수로 수렴함을 증명한다. 이 이론은 광범위하게 적용되며, 소수, 피보나치 수, 고도로 복합한 수, 약수 함수 등에 대한 급수의 무리수성을 확립한다. 반군 구조와 일반화된 계승 함수에 대한 볼록성 조건을 사용한다.

ABSTRACT

A commutative semigroup of abstract factorials is defined in the context of the ring of integers. We study such factorials for their own sake, whether they are or are not connected to sets of integers. Given a subset X of the positive integers we construct a "factorial set" with which one may define a multitude of abstract factorials on X. We study the possible equality of consecutive factorials, a dichotomy involving the limit superior of the ratios of consecutive factorials and we provide many examples outlining the applications of the ensuing theory; examples dealing with prime numbers, Fibonacci numbers, and highly composite numbers among other sets of integers. One of our results states that given any abstract factorial the series of reciprocals of its factorials always converges to an irrational number. Thus, for example, for any positive integer k the series of the reciprocals of the k-th powers of the cumulative product of the divisors of the numbers from 1 to n is irrational.

연구 동기 및 목표

• 양의 정수의 부분집합 위에서 계승 집합을 사용하여 고전 계승을 초월하는 일반적인 추상 계승의 클래스를 정의함.
• 어떤 기초 집합이든 간에 추상 계승 수열의 역수 합이 항상 무리수로 수렴함을 입증함.
• 결합된 계승 수열의 무리수성을 도출하기 위해 추상 계승에 대한 반군 구조를 개발함.
• 기존의 일반화된 계승(예: 바르가바의 것들)을 포함하고 새로운 클래스인 약수 함수와 피보나치 곱 등으로 확장되는 통합 프레임워크를 제공함.
• 소수, 고도로 복합한 수, 누적 약수 곱 등 특정 급수의 무리수성을 증명함.

제안 방법

• 최소 조건을 만족하는 사상 $!_a: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}^+$로 추상 계승을 정의하여 곱에 대해 닫혀 있고 이항계수와 호환됨을 보장함.
• 임의의 부분집합 $X \subseteq \mathbb{Z}^+$에서 계승 집합을 구성하여, 하나의 집합으로부터 무한히 많은 추상 계승을 생성할 수 있음.
• 추상 계승의 반군 성질을 사용하여 $s_j \in \mathbb{N}$이고 모두 0이 아닌 경우의 형식 $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{\prod_{j=1}^k n!_j^{s_j}}$의 합의 무리수성을 증명함.
• 연속된 계승의 비율의 상한 극한에 대한 이분법을 적용하여 성장 행동을 분석하고, 무한히 같은 계승이 반복되는 것을 방지함.
• 함수 $f: \mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$에 대한 볼록성 조건을 활용하여, 예를 들어 $f(n,q) = \binom{n+q-1}{q}$와 같이 일반화된 이항계수의 정수성을 보장하고 관련 급수의 무리수성을 증명함.
• 부분합의 정수 근사에 기반한 모순 증명을 사용하여 무리수성을 증명함. 특히 전체 합이 유리수라고 가정할 경우 $\alpha_k < 1$임을 보여줌.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 양의 정수 부분집합 위에서 고전 계승과 알려진 일반화된 계승을 모두 일반화하는 추상 계승의 일반 이론을 구축할 수 있는가?
• RQ2 추상 계승 수열의 역수 합이 언제 무리수로 수렴하는가?
• RQ3 추상 계승의 반군 구조를 사용하여 결합된 계승 급수의 무리수성을 증명할 수 있는가?
• RQ4 계승 성장의 함수에 대한 볼록성이 일반화된 이항계수의 정수성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 특정 수열, 예를 들어 소수, 피보나치 수, 고도로 복합한 수는 추상 계승을 유도하며, 그 역수 급수는 항상 무리수인가?

주요 결과

• 기초 집합이나 구성 방식에 관계없이 어떤 추상 계승 수열의 역수 합도 항상 무리수로 수렴함.
• 모든 양의 정수 $b, q, k$에 대해 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n! \, q^{\sum_{j=1}^n d(j)}}$는 무리수이며, 여기서 $d(j)$는 $j$의 약수의 개수임.
• 소수 $p_n$의 $n$번째 소수일 때 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_n!}$은 무리수이며, $\mathcal{F}(n)$이 첫 $n$개 피보나치 수의 곱이라면 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\mathcal{F}(n)^k}$ 역시 무리수임.
• 모든 $q \in \mathbb{Z}^+$와 함수 $f$에 대해 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{q^{f(n,q)} \, n!}$는 무리수이며, $f(x+y,q) \geq f(x,q) + f(y,q)$를 만족하는 경우로, $f(n,q) = \binom{n+q-1}{q}$ 포함.
• 고도로 복합한 수 $h_i$에 대해 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\prod_{i=1}^n h_i^{\lfloor n/i \rfloor}}$는 무리수이며, 이는 그 계승 집합의 자기 계승 성질 때문임.
• 일반화된 이항계수 $\binom{n}{k}_a = \left(\frac{n!}{k!}\right)^{qk} \cdot \left(\frac{n!}{(n-k)!}\right)^{q(n-k)}$는 $n!_a = n!^{qn}$일 때 정수이며, 이는 추상 계승 프레임워크의 타당성을 보장함.