[논문 리뷰] Abstract multiplicity theorems and applications to critical growth problems

Kanishka Perera|arXiv (Cornell University)|2023. 08. 15.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $Η_2$-코homological 지수를 사용하여 임의의 많은 비자명한 해를 가진 임계 성장 $p$-라플라스 및 $(p,q)$-라플라스 문제의 존재를 증명하기 위해 추상적인 다중성 정리를 수립한다. 모든 충분히 큰 파라미터 값 $\lambda > 0$ 에 대해 성립한다. 핵심 기여는 코homological 지수를 기반으로 한 고유값 수열을 통해 $m$개의 서로 다른 해 쌍을 보장하는 $\lambda$에 대한 명시적 하한을 도출한 것이다. 해의 수는 $\lambda \to \infty$ 일 때 무한히 증가한다. 결과는 반선형 경우 $p=2$ 에서조차도 새로운 것이다.

ABSTRACT

We prove some abstract multiplicity theorems that can be used to obtain multiple nontrivial solutions of critical growth $p$-Laplacian and $(p,q)$-Laplacian type problems. We show that the problems considered here have arbitrarily many solutions for all sufficiently large values of a certain parameter $λ> 0$. In particular, the number of solutions goes to infinity as $λ o \infty$. Moreover, we give an explicit lower bound on $λ$ in order to have a given number of solutions. This lower bound is in terms of a sequence of eigenvalues constructed using the ${\mathbb Z}_2$-cohomological index. This is a consequence of the fact that our abstract multiplicity results make essential use of the piercing property of the cohomological index, which is not shared by the genus. Our result for the $p$-Laplacian is new even in the semilinear case $p = 2$.

연구 동기 및 목표

• 임계 성장 $p$-라플라스 및 $(p,q)$-라플라스 문제에서 큰 파라미터 값 $\lambda > 0$ 에 대해 다수의 해가 존재하는지 여부에 대한 오랜 동안 미해결된 열린 문제를 다루다.
• 비자명한 다수의 해를 보장하기 위해 $\mathbb{Z}_2$-코homological 지수를 활용하는 추상적인 다중성 정리를 개발하다.
• $m$개의 서로 다른 해 쌍을 보장하기 위해 $\lambda$에 대한 명시적 하한을 확립하다.
• 브레지스-니레버그 및 가르시아 아소로에르-페랄 문제에 대한 이전 결과를 확장하여 $\lambda \to \infty$ 일 때 해의 수가 무한히 증가함을 증명하다.
• 코homological 지수의 투과 성질을 활용하는 새로운 프레임워크를 제공하며, 이는 고유값 기반 접근보다 더 강력하다.

제안 방법

• 코homological 지수를 기반으로 한 추상적인 다중성 정리(정리 2.1, 2.4, 2.5)를 도입하여, 투과 성질을 통해 다수의 임계점을 보장한다.
• 코homological 지수를 사용하여 고유값 수열 $\lambda_m$ 을 정의하며, 이는 $m$ 에 따라 증가하고 무한히 커지며, $\lambda$ 에 대한 하한의 핵심 매개변수로 기능한다.
• $p$-라플라스 문제 $-\Delta_p u = \lambda |u|^{r-2}u + |u|^{p^* - 2}u$ 에 이 추상 정리를 적용한다. 유계 영역 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 에서 성립하며, $1 < p < N$, $p < r < p^*$.
• 소볼레프 및 헬더 부등식을 사용하여 에너지 함수의 비선형 항을 제어하고, $c < \frac{1}{N} S^{N/p}$ 일 때 $(\text{PS})_c$ 조건이 성립함을 보장한다.
• $\lambda_m$, 체적 $|\Omega|$, 최적의 소볼레프 상수 $S$, 그리고 지수 $p, r, p^*$ 를 포함한 $\lambda$ 에 대한 명시적 하한을 유도하며, 이는 $m$개의 서로 다른 해 쌍을 보장한다.
• $(p,q)$-라플라스 문제 $-\Delta_p u - \Delta_q u = \lambda |u|^{r-2}u + |u|^{p^* - 2}u$ 에 동일한 프레임워크를 적용한다. $1 < q < p < N$, $p \leq r < p^*$ 이며, 유사한 다중성 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기반 $\mathbb{Z}_2$-코homological 지수를 갖는 추상적인 다중성 정리는 임계 성장 $p$-라플라스 문제에 대해 임의의 많은 비자명한 해의 존재를 증명하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 영역 $\Omega$ 내에서 임계 성장 $p$-라플라스 문제 $-\Delta_p u = \lambda |u|^{r-2}u + |u|^{p^* - 2}u$ 의 해의 수는 $\lambda \to \infty$ 일 때 무한히 증가하는가?
• RQ3 주어진 수 $m$ 개의 서로 다른 비자명한 해 쌍을 보장하기 위해 $\lambda$ 에 대한 명시적 하한은 무엇인가?
• RQ4 이 추상적 프레임워크는 임계 성장 $(p,q)$-라플라스 문제로 확장될 수 있으며, 동일한 다중성 행동을 유도하는가?
• RQ5 특히 투과 성질 덕분에, 코homological 지수 접근법은 고유값 기반 방법보다 다중성 보장을 더 잘 수행하는가?

주요 결과

• 영역 $\Omega$ 내에서 임계 성장 $p$-라플라스 문제 $-\Delta_p u = \lambda |u|^{r-2}u + |u|^{p^* - 2}u$ 의 비자명한 해의 수는 $\lambda \to \infty$ 일 때 무한히 증가한다. 반선형 경우 $p=2$ 에서조차도 성립한다.
• 모든 $m \in \mathbb{N}$ 에 대해, $p$-라플라스 문제의 해는 다음 명시적 하한을 초과하는 모든 $\lambda$ 에 대해 $m$개의 서로 다른 비자명한 해 쌍을 가진다: $\lambda > r|\Omega|^{r/p - 1} \sup_{\tau > 0} \left[ \frac{\lambda_m}{p\tau^{r-p}} - \frac{S^{N/p}}{N\tau^r} - \frac{1}{p^* |\Omega|^{p/(N-p)}} \tau^{p^* - r} \right]$.
• $(p,q)$-라플라스 문제 $-\Delta_p u - \Delta_q u = \lambda |u|^{r-2}u + |u|^{p^* - 2}u$ 에 대해서도 동일한 다중성 결과가 성립하며, $1 < q < p < N$, $p \leq r < p^*$ 이고, 큰 $\lambda$ 에서 $m$개의 서로 다른 비자명한 해 쌍을 보장한다.
• $\lambda$ 의 하한은 $\lambda_m \to \infty$ 이므로 $m \to \infty$ 일 때 증가하며, 이는 $\lambda$ 가 증가함에 따라 해의 수가 무한히 증가함을 확인한다.
• 코homological 지수 기반 고유값 수열 $\lambda_m$ 은 증명에 핵심적이며, 그 투과 성질 덕분에 다수의 임계점을 구성할 수 있다. 이 성질은 고유값 기반 방법에서는 공유되지 않는다.
• 추상적인 다중성 정리는 새로운 것으로, 특정 문제 외에도 적용 가능하며, 위상적 지수 이론을 통한 임계 성장 문제에서 다수의 해 존재를 증명하는 일반적 프레임워크를 제공한다.