[논문 리뷰] Abstract numeration systems on bounded languages and multiplication by a constant

Émilie Charlier, Michel Rigo외 1명|arXiv (Cornell University)|2007. 06. 04.

semigroups and automata theory참고 문헌 9인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 세 개 이상의 문자를 포함하는 유계 언어 위에 구축된 추상 수진 체계에서 S-인정 가능성에 대해 조사한다. 이를 통해 임의의 정수 λ ≥ 2에 대해 곱셈이 S-인정 가능성을 유지하지 못함을 증명하며, 항상 S-인정 가능한 집합 X가 존재하여 λX는 S-인정 가능하지 않음을 보인다. 핵심 통찰은 유계 언어에서 정수 표현과 이항계수 기반 조합 수진 체계 사이의 전단사성에 기반한다.

ABSTRACT

A set of integers is $S$-recognizable in an abstract numeration system $S$ if the language made up of the representations of its elements is accepted by a finite automaton. For abstract numeration systems built over bounded languages with at least three letters, we show that multiplication by an integer $λ\ge2$ does not preserve $S$-recognizability, meaning that there always exists a $S$-recognizable set $X$ such that $λX$ is not $S$-recognizable. The main tool is a bijection between the representation of an integer over a bounded language and its decomposition as a sum of binomial coefficients with certain properties, the so-called combinatorial numeration system.

연구 동기 및 목표

• 유계 언어를 바탕으로 한 추상 수진 체계에서 상수 λ ≥ 2에 대한 곱셈에 대해 S-인정 가능한 집합의 닫힘 성질을 조사하는 것.
• 인정 가능한 집합의 원소를 λ로 곱하는 연산이 이러한 체계에서 인정 가능성을 유지하는지 여부를 규명하는 것.
• 조합 수진 체계를 활용하여, 유계 언어에서 정수 표현이 λ에 의해 곱해질 때의 구조적 행동을 분석하는 것.
• 특히 곱셈에 대한 닫힘 성질 측면에서 지수적 언어와 다항식적 언어 사이의 근본적인 차이를 설정하는 것.
• 유계 언어에 대해 ℓ ≥ 3개의 문자를 포함할 경우, S-인정 가능성이 λ ≥ 2에 대해 유지되지 않음을 일반적으로 증명하는 것.

제안 방법

• 유계 언어 내 표현과 이항계수 기반 조합 수진 체계 사이의 전단사성을 활용한다.
• 유계 언어 Bℓ = a₁*⋯aℓ*의 단어에 대해 유전자적(짧은 사전순) 순서를 사용하여 표현 함수 repℓ(n)을 정의한다.
• valℓ를 repℓ의 역함수로 정의하여 단어를 그 정수 인덱스로 매핑하는 치환 함수로 정의한다.
• 정수 표현에 대한 λ = βℓ의 곱셈 영향을 분석하기 위해 정수 집합을 이항계수 합동에 기반한 잔여류 Rᵢ,ₖ로 분할한다.
• 모듈로 산술과 이항계수의 성질을 적용하여 βℓ로 곱한 후 자릿수 분포의 주기성을 보여준다.
• 자동기반 추론을 사용하여, ℓ ≥ 3일 경우 λ에 의해 곱해진 정규 언어의 이미지가 정규 언어로 남아있을 수 없음을 주장한다. 이는 특정 위치에서 자릿수의 무한한 증가 때문이기 때문이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 세 개 이상의 문자를 포함하는 유계 언어 위에 구축된 추상 수진 체계에서 상수 λ ≥ 2에 대한 곱셈이 S-인정 가능성을 유지하는가?
• RQ2 유계 언어 내 정수 표현의 어떤 구조적 성질이 S-인정 가능한 집합의 λ 곱셈 이미지가 S-인정 가능하지 않게 만드는가?
• RQ3 이항계수 기반 조합 수진 체계는 유계 언어 내 정수 표현과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 알파벳 길이 ℓ가 곱셈에 의한 인정 가능성 유지 여부를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 λ에 의해 곱한 후 자릿수 분포의 주기성 또는 비주기성을 이항계수 합동을 통해 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 세 개 이상의 문자를 포함하는 유계 언어 위에 구축된 임의의 추상 수진 체계 S에 대해, λ ≥ 2에 대한 곱셈은 S-인정 가능성을 유지하지 않는다.
• S-인정 가능한 집합 X가 존재하여 λX는 S-인정 가능하지 않음을 보여, S-인정 가능성이 λ ≥ 2에 대해 닫혀 있지 않음을 증명한다.
• 증명은 유계 언어 내 정수 표현과 특정 제약 조건을 가진 이항계수 합으로의 분해 사이의 전단사성에 기반한다.
• βℓ에 의한 곱셈은 충분히 큰 색인에서 표현의 자릿수 카운트에 주기성을 유도하지만, 이러한 주기성은 언어의 정규성은 유지하지 못한다.
• 레마 7의 조건을 만족하는 β에 대해, βℓmᵢ,ₖ의 표현 내 b와 c의 수는 길이 β^{ℓ−1}의 간격 동안 일정하게 유지되며, a의 수는 βℓ만큼 증가한다.
• λ = βℓ이고 ℓ ≥ 3일 경우, λX의 표현 언어는 정규 언어가 아니며, 이는 앞서 오는 a의 수가 무한히 증가하고, 접미사의 자릿수 전이가 비정규적이기 때문이다.