[논문 리뷰] Abstract Vergleichsstellensätze for preordered semifields and semirings I

T. A. Fritz|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 30.

Fuzzy Logic and Control Systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 순서가 주어진 반체와 반환에 대해 두 개인 Vergleichsstellensätze를 수립하며, 반체의 순서가 모든 전순서 확장의 교차임을 증명하고, 타원체 실수로의 준동형을 통해 Strassen과 Krivine–Kadison–Dubois의 Positivstellensätze의 비아르키메데스 일반화를 도출한다. 결과적으로 이는 체와 환을 넘어서 실대수기하학의 기초 분리정리들을 통합하고 확장한다.

ABSTRACT

Real algebra is usually thought of as the study of certain kinds of preorders on fields and rings. Among its core themes are the separation theorems known as Positivstellensätze. However, there is a nascent subfield of real algebra which studies preordered semirings and semifields, which is motivated by applications to probability, graph theory and theoretical computer science, among others. Here, we contribute to this subfield by developing a number of foundational results for it, with two abstract Vergleichsstellensätze being our main theorems. Our first Vergleichsstellensatz states that every semifield preorder is the intersection of its total extensions. We apply this to derive our second main result, a Vergleichsstellensatz for certain non-Archimedean preordered semirings in which the homomorphisms to the tropical reals play an important role. We show how this result recovers the existing Vergleichsstellensatz of Strassen and (through the latter) the classical Positivstellensatz of Krivine--Kadison--Dubois.

연구 동기 및 목표

• 순서가 주어진 반체와 반환의 맥락에서, 덧셈 역원이 없고 확률론, 그래프 이론, 복잡도 이론 등 응용에서 중심적인 역할을 하는 실대수기하학의 기초 도구를 개발한다.
• 양의 원소의 집합이 순서를 특징지키지 못하는 비아르키메데스적, 체가 아닌 설정으로 고전적 분리정리(즉, Positivstellensätze)를 일반화한다.
• 순서가 주어진 반체에 대해, 그 순서가 모든 전순서 반체 순서 확장의 교차임을 보여주는 Vergleichsstellensatz를 수립한다.
• 타원체 실수로의 준동형을 사용하여, 순서가 주어진 반환에 대해 비아르키메데스적 Vergleichsstellensatz를 도출하며, 이는 알려진 결과들을 특수한 경우로 포함한다.

제안 방법

• 새로운 다항식 항등식(보조정리 5.1)을 통해, 모든 순서가 주어진 반체 순서가 그 전순서 확장의 교차임을 증명함으로써 고전적 체 결과를 일반화한다.
• 순서의 취소 가능성과 준보완을 활용하여 문제를 Strassen의 Vergleichsstellensatz가 적용 가능한 설정으로 축소한다.
• 부분반환에서 기하급수 급수를 이용한 타원형 추론을 통해, 모든 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해 $ x \leq y + \varepsilon $ 임을 보이고, 엄밀한 부등식 조건 하에서 $ x \leq y $ 를 유도한다.
• multiplicatively Archimedean인 전순서 반체가 $ \mathbb{R}_+ $, $ \mathbb{R}_+^{\mathrm{op}} $, $ \mathbb{TR}_+ $, 또는 $ \mathbb{TR}_+^{\mathrm{op}} $ 에 순서 포함 가능하다고 특징짓는다.
• 주요 정리를 적용하여 아르키메데스 경우에서 Strassen 결과로의 환원을 통해 Krivine–Kadison–Dubois의 Positivstellensatz를 회복한다.
• 타원체 스펙트럼 $ \mathsf{TSper}(S) $ 의 컴actness를 활용하여 $ \phi(x) \leq \phi(y) $ 에서 $ \phi(x + \varepsilon) < \phi(y) $ 로 부등식을 강화함으로써, 취소 가능성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 순서가 주어진 환과 체에서의 분리정리(Vergleichsstellensätze)를 순서가 주어진 반체와 반환으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 덧셈 역원이 없는 반체에서 순서를 특징짓는 데 전순서 확장의 역할은 무엇인가?
• RQ3 타원체 실수를 목표로 하여, Strassen의 Vergleichsstellensatz를 비아르키메데스적 순서가 주어진 반환으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 반체에서 양의 원소의 집합이 존재하지 않음으로써 고전적 Positivstellensätze와는 다른 형태의 분리정리가 필요한가?
• RQ5 Krivine–Kadison–Dubois의 Positivstellensatz는 어떤 정도까지 반환 설정에서 더 일반적인 Vergleichsstellensatz로부터 유도될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 순서가 주어진 반체에서의 순서는 그를 확장하는 모든 전순서 반체 순서의 교차임을 보여주며, 기본적인 구조적 결과를 수립한다.
• 모든 multiplicatively Archimedean인 전순서 반체는 $ \mathbb{R}_+ $, $ \mathbb{R}_+^{\mathrm{op}} $, $ \mathbb{TR}_+ $, 또는 $ \mathbb{TR}_+^{\mathrm{op}} $ 중 하나에 순서 포함 가능하다. 이는 고전적 아르키메데스 포함성 $ \mathbb{R} $ 에 대한 일반화이다.
• 타원체 실수로의 준동형을 사용하여, 순서가 주어진 반환에 대해 비아르키메데스적 Vergleichsstellensatz를 수립하며, 이는 Strassen 결과를 특수한 경우로 포함한다.
• Krivine–Kadison–Dubois의 Positivstellensatz는 주요 정리의 추론으로 도출되며, 이는 고전적 결과가 추상적 프레임워크의 특수한 경우임을 보여준다.
• 증명 기법은 새로운 다항식 항등식(보조정리 5.1)과 준보완, 순서 취소 가능성을 갖춘 부분반환에서의 기하급수 급수에 대한 타원형 추론에 기반한다.
• 타원체 스펙트럼 $ \mathsf{TSper}(S) $ 의 공간을 사용하여 엄밀한 부등식을 도출함으로써, 순서 취소를 가능하게 하고, 모든 $ \phi $ 에 대해 $ \phi(x) < \phi(y) $ 를 유도함으로써 $ x \leq y $ 를 증명한다.