[논문 리뷰] Accessibility percolation with backsteps

Julien Berestycki, Éric Brunet-Gouet외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 27.

Evolution and Genetic Dynamics참고 문헌 3인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 랜덤한 적합도 값이 부여된 L차원 초입방체에서 후퇴를 허용하는 접근성 퍼콜레이션을 연구한다 (비트를 1에서 0으로 뒤집는 것). 원점에서 가장 적합도가 높은 점으로 향하는 엄격히 증가하는 적합도 경로의 존재성에 대한 단계 전이를 규명하며, L이 크다면 시작 적합도 x가 x*₁/₂ ≈ 0.278보다 작을 경우 이러한 경로가 존재할 확률이 약 0.278로 수렴하고, x가 x*₁/₂를 초과할 경우 거의 확실히 존재하지 않음을 보여준다. 임계 임계값 x*₁/₂ = 1 − ½ sinh⁻¹(2)는 생성함수와 자가피避행로의 점근적 분석을 통해 유도된다.

ABSTRACT

Consider a graph in which each site is endowed with a value called \emph{fitness}. A path in the graph is said to be "open" or "accessible" if the fitness values along that path is strictly increasing. We say that there is accessibility percolation between two sites when such a path between them exists. Motivated by the so called House-of-Cards model from evolutionary biology, we consider this question on the $L$-hypercube $\{0,1\}^L$ where the fitness values are independent random variables. We show that, in the large $L$ limit, the probability that an accessible path exists from an arbitrary starting point to the (random) fittest site is no more than $x^*_{1/2}= 1-\frac12\sinh^{-1}(2) =0.27818\ldots$ and we conjecture that this probability does converge to $x^*_{1/2}$. More precisely, there is a phase transition on the value of the fitness $x$ of the starting site: assuming that the fitnesses are uniform in $[0,1]$, we show that, in the large $L$ limit, there is almost surely no path to the fittest site if $x>x^*_{1/2}$ and we conjecture that there are almost surely many paths if $x

연구 동기 및 목표

• 원점에서 L-초입방체의 가장 적합도가 높은 점으로 향하는 선택적으로 접근 가능한 (엄격히 증가하는 적합도) 경로의 존재성에 대한 임계 적합도 임계값 x*를 결정하는 것.
• 비트를 1에서 0으로 뒤집는 후퇴의 존재가 이전에 연구된 최소 길이 경로 모델과 비교하여 접근성 퍼콜레이션의 확률에 어떤 영향을 미치는지 조사하는 것.
• L → ∞일 때 경로 존재 확률이 비자명한 극한으로 수렴하는지 확인하고, 만약 그렇다면 그 극한을 특정하는 것.
• 초입방체의 반대 모서리 사이의 자가피避행로의 수의 점근적 행동을 분석하는 것.

제안 방법

• 모든 점에 대해 i.i.d. 균일 적합도 값을 부여하지만, 가장 적합도가 높은 점은 결정적으로 1로 설정한다.
• 접근 가능한 경로를 엄격히 증가하는 적합도 값을 가지는 경로로 정의하며, 후퇴를 포함한 임의의 길이의 산책을 허용한다.
• 생성함수 G_{L,H}(X)와 g_{L,H}(X)를 사용하여 접근 가능한 경로의 기대 수를 상한 및 하한으로 제한한다. 여기서 G_{L,H}(X) = sinh(X)^H cosh(X)^{L−H}이고, g_{L,H}(X) = (∏_{l=1}^H sinh_l(X)) cosh_H(X)^{L−H}이다.
• 생성함수 계수의 점근적 분석을 적용하여 접근 가능한 경로의 지수적 증가율을 유도하고, 이를 통해 임계 임계값 x*를 도출한다.
• 최적의 점과의 해밍 거리 H에 대한 조건을 설정하고, 새로운 최댓값이 연속적으로 나타나지 않는 문자열에 대한 재귀적 조합 구조를 사용하여 경계를 유도한다.
• 가장 적합도가 높은 점이 균일하게 랜덤하게 선택되는 경우를 분석하여 H/L → 1/2 (확률적으로)임을 보이고, 이에 따라 임계 임계값 x*₁/₂ = 1 − ½ sinh⁻¹(2)를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 후퇴를 허용할 경우, L → ∞일 때 원점에서 가장 적합도가 높은 점으로 향하는 접근 가능한 경로가 존재할 확률의 극한은 무엇인가?
• RQ2 시작 지점의 적합도 값 x에 따라 접근 가능한 경로의 존재성에 단계 전이가 발생하는가? 만약 그렇다면 임계 임계값 x*는 무엇인가?
• RQ3 이전에 연구된 최소 길이 경로 모델과 비교할 때 후퇴의 존재가 접근성 퍼콜레이션에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 L-초입방체의 반대 모서리 사이의 자가피避행로의 수의 점근적 증가율은 무엇인가?
• RQ5 임계 임계값 x*는 가장 적합도가 높은 점이 원점에서 기대 해밍 거리 H/L에 따라 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 가장 적합도가 높은 점이 (1,1,…,1)에 고정되어 있을 경우, L이 매우 클 때 원점에서 가장 적합도가 높은 점으로 향하는 접근 가능한 경로가 존재할 확률은 x*₁/₂ = 1 − ½ sinh⁻¹(2) ≈ 0.27818로 수렴한다.
• 시작 지점의 적합도 x > x*₁/₂ ≈ 0.27818일 경우, L → ∞일 때 거의 확실히 가장 적합도가 높은 점으로 향하는 접근 가능한 경로가 존재하지 않는다.
• 가장 적합도가 높은 점이 균일하게 랜덤하게 선택되는 경우 (House-of-Cards 모델), 임계 임계값은 여전히 x*₁/₂ ≈ 0.27818 유지되며, H/L → 1/2 (확률적으로) 이기 때문이다.
• 가장 적합도가 높은 점이 반대 모서리에 위치할 경우 (H = L), 임계 임계값은 x*₁ = 1 − sinh⁻¹(1) ≈ 0.11863이다.
• x < 1 − ln 2 ≈ 0.30685일 경우, 접근 가능한 경로의 기대 수는 L에 대해 지수적으로 증가하지만, 이 기대값은 H가 작은 희귀 사건에 의해 지배되므로 진정한 경로 존재 확률을 반영하지 못한다.
• 반대 모서리 사이의 자가피避행로의 수의 점근적 증가율은 sinh(1−x)^H cosh(1−x)^{L−H}로 경계되며, 지수적 증가율 분석을 통해 임계 임계값을 도출할 수 있다.