[논문 리뷰] Accuracy Preserving ENO and WENO Schemes using Novel Smoothness Measurement

Biswarup Biswas, Ritesh Kumar Dubey|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 21.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 ENO 및 WENO 스킴의 정확도 유지와 충격 근처의 진동 감소를 위해 다항식 곡선 길이를 기반으로 한 새로운 부드러움 측정법을 제안한다. 새로운 WENO5-L 및 WENO5-ZL 스킴은 1차원 및 2차원 기준 문제에서 WENO5-JS 및 WENO5-Z보다 더 높은 해상도와 낮은 진동을 달성하며, L¹ 및 L∞ 노름에서 이론적 및 계산적 검증이 이루어졌다.

ABSTRACT

A novel procedure is given for choosing smoothest stencil to construct less oscillatory ENO schemes. The procedure is further used to define smoothness parameter in the non-linear weights of new WENO schemes. The main significant features of these new ENO and WENO schemes is that they are less oscillatory and achieve their relevant order of accuracy in the presence of critical points in the exact solution. It is shown theoretically as well as computationally in $L^1$ and $L^\infty$ norm. Moreover, computational results are given to show less oscillatory behavior of the new WENO scheme compared to WENO5-JS and WENO5-Z schemes.

연구 동기 및 목표

• 불연속점 및 비판점 근처에서 ENO 및 WENO 스킴의 부당한 진동 문제를 해결한다.
• 나눗셈 차분이 동일할 경우 발생할 수 있는 반올림 오류로 인해 실패할 수 있는 전통적 ENO 스티프트 선택의 한계를 극복한다.
• 해결책의 특성을 더 잘 반영하는 WENO 스킴을 위한 더 견고하고 정확한 부드러움 지표를 개발한다.
• 기존 스킴이 정확도가 저하되는 비판점에서도 공식적 정확도가 유지되도록 보장한다.
• 충격을 더 잘 포착할 수 있도록 길이 기반 비선형 가중치를 사용한 새로운 WENO 재구성 기법을 설계한다. 이는 진동을 유발하지 않는다.

제안 방법

• 기존의 나눗셈 차분 대신 ENO 재구성 다항식의 호의 길이를 기반으로 한 새로운 부드러움 측정법을 도입한다.
• ENO 스티프트 선택 과정에서 다항식 곡선 길이를 부드러움 지표로 사용하여 가장 부드러운 스티프트를 모호함 없이 식별한다.
• 기존의 부드러움 지표를 대체하기 위해 ENO 다항식의 길이를 기반으로 한 새로운 비선형 가중치를 정의한다.
• 이러한 길이 기반 가중치를 사용하여 새로운 WENO 스킴인 WENO5-L 및 WENO5-ZL을 구성한다. 이를 통해 정확도 향상과 진동 감소를 달성한다.
• 초순수 보존 법칙을 해결하기 위해 유한 체적 프레임워크에 이러한 스킴을 적용하고, 표준 1차원 및 2차원 시험 케이스에서 검증한다.
• 정확도 및 비진동 행동을 검증하기 위해 L¹ 및 L∞ 노름에서 이론적 분석과 수치 실험을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 곡선 길이 기반의 부드러움 지표는 ENO 및 WENO 스킴의 정확도와 비진동 행동을 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 동일한 나눗셈 차분으로 인한 스티프트 선택의 모호성을 새로운 부드러움 측정법이 제거할 수 있는가?
• RQ3 새로운 WENO 스킴은 기존 스킴이 정확도를 상실하는 비판점에서도 공식적 정확도를 유지할 수 있는가?
• RQ4 WENO5-L 및 WENO5-ZL 스킴은 WENO5-JS 및 WENO5-Z에 비해 충격 및 불연속점을 포착하는 데 얼마나 잘 작동하는가?
• RQ5 길이 기반의 부드러움 지표는 2차원 문제에서 강력한 충격 근처의 해상도를 어느 정도 향상시키는가?

주요 결과

• 제안된 WENO5-L 및 WENO5-ZL 스킴은 1차원 및 2차원 기준 문제에서 WENO5-JS 및 WENO5-Z에 비해 향상된 정확도와 감소된 진동을 달성한다.
• 다항식 곡선 길이를 기반으로 한 새로운 부드러움 측정법은 스티프트 선택의 모호성을 제거하여 동일한 나눗셈 차분으로 인한 오류를 방지한다.
• 이론적 및 계산적 결과는 새로운 스킴이 비판점에서도 공식적 정확도를 유지함을 확인한다.
• L¹ 및 L∞ 노름에서의 수치 결과는 새로운 스킴의 뛰어난 수렴성과 안정성을 입증한다.
• 2차원 압축 및 팽창 문제에서 새로운 스킴은 WENO5-JS 및 WENO5-Z에 비해 충격을 더 선명하게 해상화하고 유동 특징을 더 잘 포착한다.
• 길이 기반의 부드러움 지표는 표면도를 통해 진동 감소와 충격 해상도 향상을 보여주며, 더 많은 유동 특징을 포착한다.