[논문 리뷰] Accurate Frequency Domain Identification of ODEs with Arbitrary Signals

Eduardo Martini, André V. G. Cavalieri외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 09.

Control Systems and Identification참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 임의의 신호에 의해 구동되는 선형 ODE에 대한 일반화된 주파수 도메인 시스템 식별 방법을 제안한다. 이 방법은 분석적 보정 항을 통해 임의의 윈도잉 효과를 고려하며, 윈도잉으로 인한 잡음 입력 성분을 유도함으로써 일시적 오차를 제거하고 앨리어싱을 감소시킨다. 이로 인해 인위적인 보정 항 없이도 정확한 매개변수 추정이 가능해지며, 특히 $w_{\text{C}^∞_{1}}$와 같은 부드럽고 컴팩트하게 지지된 윈도우를 사용할 경우 성능 향상이 입증되었다.

ABSTRACT

The difficulty in frequency domain identification is that frequency components of arbitrary inputs and outputs are not related by the system's transfer function if signals are windowed. When rectangular windows are used, it is well known that this difference is related to transient effects that can be estimated alongside the systems' parameters windows. In this work, we generalize the approach for arbitrary windows, showing that signal windowing introduces additional terms in the system's equations. The formalism is useful for frequency-domain input-output analysis of a system, and also for system identification. For the latter application, the approach considerably reduces aliasing effects and allows the computation of the associated correction terms, reducing the number of parameters that need to be estimated. The system identification approach has features of the modulating-function technique, filtering out the effects of initial conditions while retaining the spectral interpretation of frequency-domain methods.

연구 동기 및 목표

• 비주기적이고 유한 길이의 신호를 사용할 경우 윈도잉으로 인해 발생하는 주파수 도메인 시스템 식별의 정확도 저하 문제를 해결하기 위해.
• 선형 ODE의 주파수 도메인 분석에서 신호 윈도잉으로 인한 잡음 일시적 효과를 제거하기 위해.
• 인위적인 다항식 보정에 의존하지 않고 스펙트럼 추정에서의 앨리어징 효과를 줄이기 위해.
• 모듈레이팅 함수 기법을 주파수 도메인 방법과 통합하기 위해, 윈도잉으로 인한 오차 항을 분석적으로 계산함으로써.
• 윈도잉 효과를 모델에 직접 통합함으로써 최소한의 매개변수 추정으로 정확한 시스템 식별을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 신호 윈도잉을 ODE 시스템에 추가적인 잡음 입력 항으로 모델링하는 형식을 유도하여 문제를 보정된 주파수 도메인 방정식으로 변환한다.
• 윈도우드 신호의 푸리에 변환을 사용하여 오차를 윈도우 스펙트럼과의 컨볼루션 형태로 표현함으로써, 윈도잉에 의한 왜곡을 분석적으로 다룰 수 있도록 한다.
• 모든 윈도우 함수에 대해 유효한 일반화된 보정 프레임워크를 도입하여, 이전 연구에서 직사각형 윈도우에 국한된 결과를 확장한다.
• 이 방법을 적용하여 이산 푸리에 변환에서의 앨리어징 효과에 대한 해석적 표현을 유도하며, 윈도우의 부드러움에 따라 수렴 속도가 달라짐을 보여준다.
• 부드럽고 컴팩트하게 지지된 윈도우(예: $w_{\text{C}^∞_{1}}$)를 사용하여 스펙트럼 누설을 최소화하고 $f_{\text{err}}^p$에 대한 오차 한계를 향상시킨다.
• 오차 범위 $f_{\text{err}}^p$를 계산하여 윈도잉 효과가 주어진 임계값 $p$ 이하로 유지되는 주파수 범위를 정량화함으로써 최적의 윈도우 선택을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 윈도잉이 일시적 잡음 효과를 유도할 경우, 비주기적이고 임의의 신호에 대해 주파수 도메인 시스템 식별을 어떻게 정확하게 수행할 수 있는가?
• RQ2 임의의 윈도우 함수에 대해 보정 항은 어떤 분석적 형태를 가지며, 이는 시스템의 전이 함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 주파수 도메인 식별에서 매끄럽고 컴팩트하게 지지된 윈도우 함수를 선택함으로써 앨리어징 효과를 어느 정도 줄일 수 있는가?
• RQ4 모듈레이팅 함수 기법을 윈도잉으로 인한 오차 항을 추정하는 대신 분석적으로 계산함으로써 주파수 도메인으로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 오차 추정의 수렴 속도는 윈도우 함수의 부드러움과 그 도함수의 성질에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 이 방법은 분석적으로 잡음 입력 항을 계산함으로써 윈도잉으로 인한 주파수 도메인 식별 오차를 감소시켜 인위적인 다항식 보정이 필요 없음을 입증한다.
• 부드러운 윈도우인 $w_{\text{C}^∞_{1}}$를 사용할 경우 오차 임계값 $f_{\text{err}}^{10^{-6}}$는 99 Hz이며, 이는 이 주파수 이하에서 신호 에너지의 99%가 해상될 수 있음을 의미한다.
• 신호가 부드러울 경우 DFT 오차의 수렴 속도가 $O(1/k^{n+1})$에 도달하며, 이는 부드럽지 않은 신호의 $O(1/k^n}$ 수렴 속도를 초월한다.
• $w_{\text{C}^∞_{4}}$를 사용할 경우 오차 임계값 $f_{\text{err}}^{10^{-12}}$는 63 Hz에 도달하여 매우 작은 오차 수준에서 고정밀 해상이 가능함을 보여준다.
• 제안된 윈도우 가족 $w_{\text{C}^∞_{\rho}}$는 부드러움 파rameter를 통해 앨리어징과 일시적 오차를 체계적으로 제어할 수 있으며, $f_{\text{err}}^{10^{-12}}$는 $\rho=1$일 때 760 Hz에서 $\rho=4$일 때 63 Hz로 감소한다.
• 이 형식은 주파수 도메인 분석과 모듈레이팅 함수 기법을 통합함으로써 초기 조건 영향을 걸러내면서도 스펙트럼 해석을 유지하고 매개변수 추정의 부담을 줄인다.