[논문 리뷰] Action of the Mapping Class Group on Character Varieties and Higgs Bundles

Oscar Garcı́a-Prada, Graeme Wilkin|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 16.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 34인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 표면군의 유한부분군이 단순성 실리 Lie 군으로의 특성 다양체 위에서 작용하는 것을 연구한다. 고정점은 리만 곡면 위의 비틀린 $γ$-준동형 $G$-히그 복합체를 통해 식별되며, 이는 오비폴드 위의 평행히그 복합체를 일반화하고, 허위실수 히그 복합체 이론을 평행 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We consider the action of a finite subgroup of the mapping class group Mod$(S)$ of an oriented compact surface $S$ of genus $g \geq 2$ on the moduli space $\calR(S,G)$ of representations of $\pi_1(S)$ in a connected semisimple real Lie group $G$. Kerckhoff's solution of the Nielsen realization problem ensures the existence of an element $J$ in the Teichm\"uller space of $S$ for which $\Gamma$ can be realised as a subgroup of the group of automorphisms of $X=(S,J)$ which are holomorphic or antiholomorphic. We identify the fixed points of the action of $\Gamma$ on $\calR(S,G)$ in terms of $G$-Higgs bundles on $X$ equipped with a certain twisted $\Gamma$-equivariant structure, where the twisting involves abelian and non-abelian group cohomology simultaneously. These, in turn, correspond to certain representations of the orbifold fundamental group. When the kernel of the isotropy representation of the maximal compact subgroup of $G$ is trivial, the fixed points can be described in terms of familiar objects on $Y=X/\Gamma^+$, where $\Gamma^+ \subset \Gamma$ is the maximal subgroup of $\Gamma$ consisting of holomorphic automorphisms of $X$. If $\Gamma=\Gamma^+$ one obtains actual $\Gamma$-equivariant $G$-Higgs bundles on $X$, which in turn correspond with parabolic Higgs bundles on $Y=X/\Gamma$ (this generalizes work of Nasatyr \& Steer for $G=\SL(2,\R)$ and Boden, Andersen \& Grove and Furuta \& Steer for $G=\SU(n)$). If on the other hand $\Gamma$ has antiholomorphic automorphisms, the objects on $Y=X/\Gamma^+$ correspond with pseudoreal parabolic Higgs bundles. This is a generalization in the parabolic setup of the pseudoreal Higgs bundles studied by the first author in collaboration with Biswas \& Hurtubise.

연구 동기 및 목표

• 표면군의 유한부분군이 단순성 실리 Lie 군으로의 특성 다양체 위에서 작용하는 고정점들을 이해하는 것.
• 이 고정점들과 아벨 및 비아벨 코hom로 구성된 비틀린 $γ$-준동형 성질을 가진 $G$-히그 복합체 사이의 대응관계를 수립하는 것.
• 오비폴드 몫을 이용하여 기존의 준동형 및 허위실수 히그 복합체 결과를 평행 설정으로 일반화하는 것.
• 이so트로피 표현의 핵이 자명할 경우, 고정점을 오비폴드 기본군의 표현으로 기술하는 것.

제안 방법

• Kerckhoff의 Nielsen 실현 문제 해결법을 활용하여 매핑 클래스 군의 유한부분군을 리만 곡면 $X=(S,J)$ 의 자기동형군으로 실현한다.
• 아벨 및 비아벨 군 코hom로 구성된 비틀린 $γ$-준동형 성질을 $G$-히그 복합체에 도입하여 군 작용을 코어한다.
• 특정 준동형 성질을 가진 $X$ 위의 $G$-히그 복합체의 기하학을 분석함으로써 특성 다양체 $Χ(S,G)$ 위의 군 작용의 고정점을 분석한다.
• 고정점의 기술을 $\Gamma^+$의 허수 자동형군인 부분군인 $Y = X / \Gamma^+$ 위의 대상들로 감소시킨다.
• 비틀린 준동형 히그 복합체 $X$와 오비폴드 $Y$ 위의 평행 히그 복합체 사이의 대응관계를 수립하며, $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 및 $\mathrm{SU}(n)$ 에 대한 기존 결과를 일반화한다.
• 역호모로프릭 자동형군이 있는지 없는지의 경우를 구분하여, $Y$ 위의 평행 히그 복합체 또는 허위실수 평행 히그 복합체를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표면군의 매핑 클래스 군의 유한부분군은 단순성 실리 Lie 군으로의 특성 다양체 위에서 어떻게 작용하는가?
• RQ2 이러한 군 작용의 고정점의 기하학적 및 코hom로지컬 구조는 무엇인가?
• RQ3 비틀린 $γ$-준동형 $G$-히그 복합체는 어떻게 이러한 고정점을 기술하는가?
• RQ4 이 고정점과 오비폴드 기본군의 표현 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 역호모로프릭 자동형군의 존재는 평행 히그 복합체 기반의 고정점 분류에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 매핑 클래스 군의 유한부분군 $\Gamma$ 가 $\calR(S,G)$ 위에서 작용하는 고정점들은 아벨 및 비아벨 코hom로 구성된 비틀린 $\Gamma$-준동형 성질을 가진 $X$ 위의 $G$-히그 복합체로 매개된다.
• 이소트로피 표현의 핵이 자명할 경우, 고정점은 $\Gamma^+$의 허수 자동형군인 부분군인 $Y = X / \Gamma^+$ 위의 평행 히그 복합체로 대응된다.
• $\Gamma = \Gamma^+$ 일 경우, 고정점은 $X$ 위의 실제 $\Gamma$-준동형 $G$-히그 복합체로 기술되며, 이는 $Y = X / \Gamma$ 위의 평행 히그 복합체로 대응되며, 이는 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 및 $\mathrm{SU}(n)$ 에 대한 이전 결과를 일반화한다.
• $\Gamma$ 가 역호모로프릭 자동형군을 포함할 경우, $Y = X / \Gamma^+$ 위의 대응 대상은 허위실수 평행 히그 복합체가 되며, 이는 허위실수 히그 복합체 이론을 평행 설정으로 확장한다.
• 이 구성은 코hom로지컬 토글링을 통해 특성 다양체 위의 군 작용과 오비폴드 위의 히그 복합체 이론을 연결하는 통합적 프레임워크를 제공한다.
• 결과는 이전의 준동형 및 허위실수 히그 복합체 작업을 일반화하고 통합하며, 유한군 작용 하에서 특성 다양체의 기하학에 대한 새로운 시각을 제공한다.