[논문 리뷰] Actions of groups of birationally extendible automorphisms

Alan Huckleberry, Dmitri Zaitsev|ArXiv.org|1995. 08. 22.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 22인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 다항부등식으로 정의된 복소도메인 위에서 유리적 연장 가능 자동형사상에 의한 군 작용을 조사한다. 유한한 성분 수를 가진 군 또는 유한한 자동형사상 차수를 가진 군의 경우, 프로젝티브 선형화—유리적이고 G--equivariant인 사상에 의해 도메인을 복소 프로젝티브 공간에 매장하는 것—를 증명하며, 이는 궤도 차원에 맞는 풍부한 유리적 불변량을 제공한다.

ABSTRACT

We study the actions of a Lie group $G$ by birationally extendible automorphisms on a domain $D\subset C^n$. For a large class of such domains defined by polynomial inequalities, all automorphisms are of this type. In the cases 1) $G$ has finitely many components or 2) the degree of the automorphisms is bounded, we prove that the action of $G$ is projectively linearizable, i.e. there exist a linear representation of $G$ on some $ C^{N+1}$ and a holomorphic $G$-equivariant embedding $i: D o P^N$, which is a restriction of a rational mapping. As a corollary we obtain as many rational invariant functions as the dimension of generic orbits allows. A hard copy is available from [e-mail]

연구 동기 및 목표

• 유리적 연장 가능 자동형사상에 의한 리군 작용을 통해 복소도메인의 동역학적 및 기하학적 구조를 이해하기 위해.
• 그러한 군 작용이 프로젝티브 설정에서 선형화될 수 있는 조건을 규명하기 위해.
• 일반 궤도에 대해 충분한 수의 유리적 불변량이 존재함을 확립하기 위해.
• 다항부등식으로 정의된 도메인의 광범위한 클래스로 선형화 결과를 일반화하기 위해.
• 유리적 등변 매장에 의해 복소기하학과 대수적 변환군을 연결하기 위해.

제안 방법

• 모든 자동형사상이 유리적 연장 가능할 때, 다항부등식으로 정의된 도메인 D ⊂ ℂ^n 에 초점을 맞춘다.
• 유한한 성분 수 또는 유한한 차수 조건을 만족하는 군 작용을 분석한다.
• ℂ^{N+1}으로의 유리적 사상으로 연장되는, 정칙적이고 G--equivariant인 매장 i: D → ℙ^N 을 구성한다.
• 표현 이론과 유리기하학을 활용하여 군 작용이 ℂ^{N+1} 상에서 선형으로 표현됨을 실현한다.
• 유리적 자동형사상의 구조를 활용하여 매장의 유리적 연장을 보장한다.
• 복소해석학과代수기하학의 기법을 적용하여 등변 유리적 연장의 존재를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식으로 정의된 도메인 위에서 작용하는 유리적 연장 가능 자동형사상의 군이 언제 프로젝티브 선형화될 수 있는가?
• RQ2 군의 차수에 제한이 있거나 성분 수가 유한할 경우, 그 작용의 선형화 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 일반 궤도의 차원과 그 작용에 의해 생성된 유리적 불변량의 수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 다항식으로 정의된 도메인의 모든 자동형사상은 유리적으로 연장될 수 있으며, 이는 군 작용의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 복소프로젝티브 공간으로의 정칙적 G-등변 매장이 유리적 사상으로 어떻게 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 유한한 성분 수 또는 유한한 자동형사상 차수를 가진 군의 경우, 작용은 프로젝티브 선형화 가능하다.
• 정칙적이고 G--equivariant인 매장 i: D → ℙ^N 이 존재하며, 이는 유리적 사상의 제한으로서 유도된다.
• 선형화는 일반 궤도의 차원이 허용하는 만큼의 유리적 불변량이 존재함을 시사한다.
• 다항부등식으로 정의된 도메인의 클래스는 모두 유리적 연장 가능 자동형사상을 포함한다.
• 이 결과는 대수적 작용을 초월하여 더 넓은 범위의 해석적 군 작용에 대해 선형화를 일반화한다.
• 구성은 효과적이며, 자동형사상의 유리적 연장과 군 표현 이론에 의존한다.