[논문 리뷰] Active-Passive Brownian Particle in Two Dimensions

Tayeb Jamali|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 28.

Micro and Nano Robotics참고 문헌 23인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 두 차원에서 자기 추진 속도가 랜덤 텔레그래프 과정을 통해 수동 상태(속도 0)와 능동 상태(일정 속도) 사이를 확률적으로 전환하는 활성-수동 브라운 입자 모델을 제안한다. 이동 거리의 모멘트와 효과적 확산 계수에 대한 해석적 표현을 유도함으로써, 본 모델이 수동 및 능동 브라운 운동 사이를 연결하며, 장거리 스케일에서 런-앤-터뷸(RTP) 입자와 등가로 매핑됨을 보여준다.

ABSTRACT

We describe a two-dimensional model for active particles whose self-propulsion speed is not fixed, but varies in time, and whose motion is subject to both translational and rotational diffusion. In the conventional treatment of active Brownian motion, the self-propulsion speed is taken to be constant - an assumption convenient for analysis but poorly matched to many real systems. Here we relax that assumption, allowing the speed $v(t)$ to fluctuate stochastically between two values: $v=0$ (a passive state) and $v=s$ (an active state). Transitions between these states are taken to follow a random telegraph process. This ``active-passive Brownian particle'' inherits limiting behaviors from both the purely active and purely passive Brownian cases. Analytical expressions for the first two displacement moments, and for the resulting effective diffusion coefficient, make this dual character explicit. Moreover, by an appropriate identification of parameters, a run-and-tumble particle - such as a motile bacterium - can be mapped onto this model in such a way that their large-scale diffusivities coincide.

연구 동기 및 목표

• 자기 추진 속도가 시간에 따라 변하는 활성 입자 운동을 모델링하여, 기존 활성 브라운 운동에서의 일정한 속도 가정을 초월한다.
• 간헐적인 활동(능동/수동 상태 전환)이 두 차원에서의 평행 이동 및 회전 확산에 미치는 영향을 조사한다.
• 확률적 속도 전환 존재 하에서 이동 거리의 첫 번째 두 모멘트와 효과적 확산 계수에 대한 해석적 표현을 유도한다.
• 본 모델이 동시에 수동 및 능동 브라운 운동의 특성을 포괄함을 보여준다.
• 활성-수동 모델과 런-앤-터뷸 입자(RTP) 사이의 매핑을 수립하여 장기적 확산 계수가 동일함을 보여준다.

제안 방법

• 자기 추진 속도 $v(t)$ 가 시간에 따라 변하는 두 차원 랑주반 방정식을 사용하여 입자를 모델링하며, $v(t)$ 는 두 상태 마코프 과정으로 표현되며, $v=0$ (수동) 또는 $v=s$ (능동)이다.
• 전이 비율 $\alpha$ (수동 → 능동) 및 $\beta$ (능동 → 수동)를 갖는 랜덤 텔레그래프 과정을 통해 속도 전환을 구현한다.
• 두 상태 마코프 과정에 대한 마스터 방정식을 사용하여 속도 상태에 대한 조건부 확률 $p(s,t|v_0,0)$ 를 유도한다.
• 포커-플랑크 접근법을 사용하여 각도 확률 밀도 $p(\varphi,t)$ 를 계산하며, 이는 분산이 $2D_r t$ 인 가우시안 분포이며 방향성 평균 계산이 가능하다.
• 전이 밀도를 사용하여 $\langle \cos\varphi(t) \rangle$, $\langle \sin\varphi(t) \rangle$, 그리고 교차 상관관계 $\langle \cos\varphi(t_1)\cos\varphi(t_2) \rangle$ 를 계산한다.
• 속도와 방향 통계를 조합하여 이동 거리의 첫 번째 두 모멘트와 효과적 확산 계수 $D_{\text{eff}}$ 를 해석적으로 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률적 전환에 의한 능동-수동 상태 전환이 두 차원 브라운 입자의 평균 제곱 이동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 활성-수동 모델에서 효과적 확산 계수의 해석적 형태는 무엇이며, $D_t$, $D_r$, $s$, $\alpha$, $\beta$ 에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 활성-수동 모델은 에시히리아 콜라이(E. coli)와 같은 런-앤-터뷸 입자(RTP)의 장기적 확산 행동을 재현할 수 있는가?
• RQ4 활성-수동 모델이 순수한 브라운 운동 또는 능동 브라운 운동과 유사한 행동을 보이는 시간 영역는 언제인가?
• RQ5 속도 전환 존재 하에서 방향성 상관관계 $\langle \cos\varphi(t_1)\cos\varphi(t_2) \rangle$ 와 $\langle \sin\varphi(t_1)\sin\varphi(t_2) \rangle$ 는 시간에 따라 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 등방성과 평균이 0인 노이즈로 인해 이동 거리의 첫 번째 모멘트 $\langle \mathbf{r}(t) \rangle$ 는 0이 된다. 이는 평형 유사 행동과 일치한다.
• 두 번째 모멘트 $\langle (\mathbf{r}(t) - \mathbf{r}_0)^2 \rangle$ 는 궤도적에서 확산 행동으로의 전이를 보이며, 효과적 확산 계수 $D_{\text{eff}} = D_t + \frac{s^2}{2} \cdot \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2} \cdot \frac{1}{D_r}$ 로 표현된다.
• 빠른 전환의 극한($\alpha, \beta \to \infty$)에서 본 모델은 일정 속도 $s$ 를 갖는 표준 활성 브라운 운동으로 축소되며, 일관성을 확인한다.
• 느린 전환의 극한($\alpha, \beta \to 0$)에서 입자는 확산 계수 $D_t$ 를 갖는 수동 브라운 입자처럼 행동하며, 본 모델이 수동 및 능동 영역 사이를 연결함을 보여준다.
• 활성-수동 모델에서 유도된 효과적 확산 계수는 비상호작용 런-앤-터뷸 입자(RTP) 모델의 것과 일치하며, 장거리 스케일에서의 매핑을 확인한다.
• 방향성 상관관계 함수는 $D_r$ 에 의존하는 시간 상수로 지수적으로 감소하며, $t_2 > t_1$ 에 대해 $\langle \cos\varphi(t_1)\cos\varphi(t_2) \rangle \sim e^{-D_r(t_2 - t_1)}$ 로 표현되며, 방향성 기억 상실이 시간이 지남에 따라 발생함을 나타낸다.