[논문 리뷰] Actor Programming Languages

Carl Hewitt|arXiv (Cornell University)|2009. 07. 20.

Computability, Logic, AI Algorithms인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고델이 수학이 스스로의 일관성을 증명할 수 없다고 증명했다는 널리 퍼진 믿음을 도전하며, 유형화된 문법에서 필요한 고정점이 부족하기 때문에 고델의 증명에 사용된 자기참조 문장은 구성될 수 없다고 주장한다. 이는 표현력의 손실 없이도 수학의 일관성을 확립하는 바이며, 일관성에 대한 저항력이 수학 발전의 진보적 요소임을 보여준다.

ABSTRACT

Inconsistency Robustness is performance of information systems with pervasively inconsistent information. Inconsistency Robustness of the community of professional mathematicians is their performance repeatedly repairing contradictions over the centuries. In the Inconsistency Robustness paradigm, deriving contradictions have been a progressive development and not game stoppers. Contradictions can be helpful instead of being something to be swept under the rug by denying their existence, which has been repeatedly attempted by Establishment Philosophers (beginning with some Pythagoreans). Such denial has delayed mathematical development. This article reports how considerations of Inconsistency Robustness have recently influenced the foundations of mathematics for Computer Science continuing a tradition developing the sociological basis for foundations. The current common understanding is that Godel proved Mathematics cannot prove its own consistency, if it is consistent. However, the consistency of mathematics is proved by a simple argument in this article. Consequently, the current common understanding that Godel proved Mathematics cannot prove its own consistency, if it is consistent is inaccurate. Wittgenstein long ago showed that contradiction in mathematics results from the kind of self-referential sentence that Godel used in his argument that mathematics cannot prove its own consistency. However, using a typed grammar for mathematical sentences, it can be proved that the kind self-referential sentence that Godel used in his argument cannot be constructed because required the fixed point that Godel used to the construct the self-referential sentence does not exist. In this way, consistency of mathematics is preserved without giving up power.

연구 동기 및 목표

• 고델이 수학이 스스로의 일관성을 증명할 수 없다고 증명했다는 일반적인 해석을 도전하기 위해.
• 수학적 모순이 치명적이지 않으며, 일관성에 저항하는 체계적 접근을 통해 체계적으로 관리될 수 있음을 보여주기 위해.
• 고델의 무결성 정리의 핵심이 되는 자기참조 문장이 유형화된 수학적 문법에서 구성될 수 없다는 것을 보여주기 위해.
• 표현력의 전반적인 강화를 유지하면서도 문법적 제약 조건을 통해 일관성을 확보하기 위해.
• 수학의 기초에 대한 사회적 및 역사적 기반을 재구성하기 위해, 오랜 기간 동안 모순 복구의 역할을 강조하기 위해.

제안 방법

• 유형화된 문법 형식을 사용하여 고델의 증명에서 사용된 자기참조 문장의 문법적 구조를 분석한다.
• 고델의 자기참조 문장을 구성하기 위해 필요한 고정점이 유형화된 문법 프레임워크 내에서 존재하지 않음을 입증한다.
• 위트게인의 자기참조 비판을 적용하여, 이러한 문장들이 유형화된 시스템에서 문법적으로 타당하지 않음을 보여준다.
• 문제를 일으키는 자기참조 문장을 구성할 수 없게 함으로써 수학의 일관성 증명을 재구성한다.
• 수학자들이 오랜 기간 동안 실천한 일관성에 저항하는 체계가 수학적 발전의 기초로 형식화될 수 있음을 주장한다.
• 고델의 정리를 일관성의 장벽이 아니라, 무형의 시스템에서의 문법적 과잉 행동의 결과로 재해석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고델의 무결성 증명에서 사용된 자기참조 문장은 유형화된 수학적 문법 내에서 구성될 수 있는가?
• RQ2 유형화된 문법에서 고정점이 존재하지 않는다는 것은 고델이 수학이 스스로의 일관성을 증명할 수 없다고 주장한 논거를 무효화하는가?
• RQ3 자기참조 역설이 문법적 제약 조건으로 제거된다면, 수학은 표현력과 일관성을 동시에 유지할 수 있는가?
• RQ4 수학자들이 오랜 기간 동안 모순을 해결하는 데 실천한 방식은 현대 수학의 기초에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 고델이 수학이 스스로의 일관성을 증명할 수 없다고 증명했다는 널리 퍼진 믿음은 그의 작업을 정확하게 해석한 것인가?

주요 결과

• 고델의 증명의 핵심이 되는 자기참조 문장은 고정점이 존재하지 않기 때문에 유형화된 문법 시스템에서 구성될 수 없다.
• 표현력의 손실 없이도, 문법적으로 잘못된 자기참조 구조를 배제함으로써 수학의 일관성이 유지된다.
• 고델이 수학이 스스로의 일관성을 증명할 수 없다고 증명했다는 일반적인 해석은 정확하지 않으며, 그의 정리에 대한 오해에서 비롯된다.
• 수학적 모순은 본질적으로 파괴적이지 않으며, 역사적으로 복구와 정련을 통해 발전을 이끌어낸 바 있다.
• 모순을 인정하고 해결하는 일관성에 저항하는 체계는 타당하고 역사적으로 검증된 수학적 발전의 기초가 될 수 있다.
• 위트게인의 자기참조 비판은 유형화된 시스템에서 이러한 문장들이 구성될 수 없다는 형식적 증명을 통해 검증된다.