[논문 리뷰] Acyclic Comprehension is equal to Stratified Comprehension

Zuhair Al-Johar, M. Randall Holmes|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 07.

Logic, Reasoning, and Knowledge인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비순환 구성—비순환 공식으로 정의된 집합의 존재를 주장하는 것—이 뉴 포브스 집합론에서 계층화된 구성과 논리적으로 동치임을 증명한다. 저자들은 변수 연결의 그래프 이론적 비순환성으로 정의된 비순환 공식이 고전적인 계층화 기준과 동일한 집합 존재 강도를 생성함을 보이며, 비순환 구성이 계층화된 구성보다 엄밀히 약할 것이라는 추측을 해결한다.

ABSTRACT

A new criterion of comprehension is defined, initially termed by myself as "connected" and finally as "Acyclic" by Mr. Randall Holmes. Acyclic comprehension simply asserts that for any acyclic formula phi, the set {x:phi} exists. I first presented this criterion semi-formally to Mr. Randall Holmes, who further made the first rigorous definition of it, a definition that I finally simplified to the one presented here. Later Mr. Holmes made another presentation of the definition which is also mentioned here. He pointed to me that acyclic comprehension is implied by stratification, and posed the question as to whether it is equivalent to full stratification or strictly weaker. He and initially I myself thought that it was strictly weaker; Mr. Randall Holmes actually conjectured that it is very weak. Surprisingly it turned to be equivalent to full stratification as I proved here

연구 동기 및 목표

• 비순환 구성—집합 존재의 새로운 기준—이 뉴 포브스(NF) 집합론에서 고전적인 계층화된 구성과 동치인지 조사하는 것.
• Randall Holmes가 제기한 열린 질문인 비순환 구성이 계층화된 구성보다 엄밀히 약한가를 해결하는 것.
• 서로의 함의 관계를 증명하여 비순환 구성과 계층화된 구성 사이의 형식적 동치성을 확립하는 것.
• 변수 관계의 그래프 이론적 연결성과 비순환성에 기반한 비순환 공식의 엄밀한 정의와 특성화를 제공하는 것.

제안 방법

• 변수를 정점으로, 원자적 연결($ x \in y $, $ y \in x $, $ x = y $, $ y = x $)을 간선으로 가지는 그래프 $ G_{\phi} $ 를 정의한다.
• 그래프 $ G_{\phi} $ 가 사이클을 포함하지 않으면서, 각 변수가 자신으로 되돌아가는 체인을 갖지 않도록 공식을 비순환이라고 선언한다.
• 연결된 성분의 유일한 경로를 사용하여 $ G_{\phi} $ 의 연결 성분에서 계층화를 구성함으로써, 계층화된 구성이 비순환 구성을 함의함을 증명한다.
• 비순환 구성에서 계층화된 구성의 유한 공리 체계와 외연성 공리를 유도함으로써, 비순환 구성이 계층화된 구성을 함의함을 증명한다.
• 위너의 순서 쌍과 정의적 기계장치(예: 도메인, 역관계, 상대적 곱)를 사용하여 비순환 구성 하에서 표준적인 NF 구조를 재구성한다.
• 모든 필요한 집합론적 연산(여집합, 합집합, 카르테시안 곱, 사영)이 비순환 구성 하에서 정의 가능하고 일관되게 유지됨을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비순환 구성은 계층화된 구성보다 엄밀히 약한가, 아니면 동치인가?
• RQ2 계층화된 구성의 공리들은 비순환 구성과 외연성에서 유도될 수 있는가?
• RQ3 변수 연결 그래프 기반의 비순환 조건이 계층화의 전반적인 강도를 충분히 포괄하는가?
• RQ4 비순환 구성과 외연성만을 사용하여 계층화된 구성의 유한 공리 체계를 재구성할 수 있는가?

주요 결과

• 뉴 포브스 집합론에서 비순환 구성은 논리적으로 계층화된 구성과 동치이다.
• 공식의 그래프 이론적 비순환 조건은 각 변수가 성분 내에서 루트로 유일한 경로를 가지게 하여 일관된 계층화를 가능하게 한다.
• 계층화된 구성은 비순환 구성을 함의한다. 왜냐하면 계층화는 변수 연결에 나무 구조를 유도하기 때문에 임의의 계층화된 공식은 자동으로 비순환적이기 때문이다.
• 비순환 구성은 비순환 구성과 외연성만을 사용하여 계층화된 구성의 전체 유한 공리 체계를 증명함으로써 계층화된 구성을 함의한다.
• 강한 외연성과 약한 외연성의 경우 모두 증명이 성립하며, 약한 외연성에서 $ 0 $ 이 $ V $ 로 대체될 경우 약간의 수정이 필요하다.