[논문 리뷰] Acyclic orientations and poly-Bernoulli numbers

Peter J‎. Cameron, Celia A. Glass외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 11.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 6인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 완전 이분 그래프 $K_{n_1,n_2}$의 순환적이지 않은 방향 부여와 음의 지수를 가진 다중 베르누이 수 $B_{n_1}^{(-n_2)}$ 사이의 직접적인 연결을 수립하며, 순환적이지 않은 방향 부여의 수가 $B_{n_1}^{(-n_2)}$와 같음을 증명한다. 또한 이 수가 단조 증가-감소 성질을 가지며, 최댓값을 투라 그래프 $T(2,n)$에서 갖는다는 것을 보이며, 순환적이지 않은 방향 부여의 수를 최대화하는 데 있어 균형 잡힌 완전 이분 그래프의 최적성에 대한 추측을 확인한다.

ABSTRACT

The main contribution of this paper is a formula for the number of acyclic orientations of a complete bipartite, $K_{n_1,n_2},$ revealing that it is equal to the poly-Bernoulli number $B_{n_1}^{(-n_2)}$ introduced in 1997 by Kaneko. We also give a simple bijective identification of acyclic orientations and lonesum matrices, confirming a 2008 result of Brewbaker, and show that the poly-Bernoulli numbers behave concavely, as well being symmetric. A second goal is to explore the behaviour of more general complete $r$-partite graphs in the space of the number of acyclic orientations. We prove that the number of acyclic orientations of complete bipartite graphs on $n$ vertices is a unimodular concave function maximised by the Turán graph $T(2,n).$ For tripartite graphs, we derive an explicit formula for its number of its acyclic orientations, for the specific case with a single vertex partition. For more complex complete $r$-partite graphs an algorithmic approach is suggested, taking advantage of the relationship with graph colouring through the result of Stanley, namely the value of the graph colouring polynomial at the value -1. An underlying theme is the exploration of the space of the number of acyclic orientations of graphs. We present various theoretical and computational results, with additional, conjectures for both complete $r$-partite and general graphs to guide future research.

연구 동기 및 목표

• 완전 이분 그래프 $K_{n_1,n_2}$의 순환적이지 않은 방향 부여 수와 다중 베르누이 수 $B_{n_1}^{(-n_2)}$ 사이의 정확한 공식을 수립하기.
• 완전 $r$-분할 그래프에서 순환적이지 않은 방향 부여 수의 단조 증가-감소 및 오목 성질을 조사하며, 특히 $r=2$ 및 $r=3$의 경우에 중점을 두기.
• 고정된 $n$과 $m$에서 순환적이지 않은 방향 부여의 수를 최대화하는 데 있어 투라 그래프의 최적성 검증 및 매달린 커튼 추측 지지.
• 순환적이지 않은 방향 부여와 고립 행렬 사이의 관계를 이분 구축을 통해 탐색하며, 브루브커의 2008년 결과를 확인하기.
• 정점 수 $n$과 간선 수 $m$을 갖는 그래프 공간에서 균형 잡힌 완전 이분 그래프의 국소 최대성에 대한 추측에 대해 이론적 및 계산적 증거 제공하기.

제안 방법

• 조합적 수세기 기법을 사용하여 $K_{n_1,n_2}$의 순환적이지 않은 방향 부여 수에 대한 폐쇄형 표현을 유도하고, 색칠 다항식 항등식 $a(G) = (-1)^n P_G(-1)$를 통해 이를 검증하기.
• 완전 이분 그래프 $K_{n_1,n_2}$의 순환적이지 않은 방향 부여와 고립 행렬 사이의 이분 사상 수립을 통해 음의 지수를 가진 다중 베르누이 수와의 연결을 확인하기.
• 스튜어트의 색칠 다항식을 $-1$에서 평가하는 정리를 적용하여 완전 $r$-분할 그래프의 $a(G)$를 계산하고, $r > 3$에 대해서도 알고리즘적 계산 가능하게 하기.
• 온라인 정수 수열 사전(OEIS)을 활용하여 순환적이지 않은 방향 부여 수와 다중 베르누이 수 사이의 연결 고리 발견하기.
• 소규모 $n$에 대한 계산적 검증을 통해 $K_{n,n} \pm e$ 및 $K_{n-1,n+1}$과 같은 완전 이분 그래프 근처에서 $a(G)$의 행동에 대한 추측 검증하기.
• 구간 $1 \leq k \leq n$에서 수열 $a(K_{k,n-k})$를 분석하여 단조 증가-감소 성질을 증명하고, 투라 그래프 $T(2,n)$가 최대화함을 규명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전 이분 그래프 $K_{n_1,n_2}$의 순환적이지 않은 방향 부여 수가 다중 베르누이 수 $B_{n_1}^{(-n_2)}$와 같은가?
• RQ2 수열 $a(K_{k,n-k})$는 $k = \lfloor n/2 \rfloor$에서 최댓값을 가지는가? 이는 투라 그래프 $T(2,n)$에 해당한다.
• RQ3 정점 수 $n$과 간선 수 $m$을 갖는 모든 그래프 중에서 균형 잡힌 분할을 가진 완전 이분 그래프가 순환적이지 않은 방향 부여의 수를 최대화하는가?
• RQ4 완전 삼분할 그래프의 경우 순환적이지 않은 방향 부여 수는 어떻게 행동하는가? 그리고 폐쇄형 공식을 유도할 수 있는가?
• RQ5 매달린 커튼 추측이 제기한 lin $A_n(m)$, 즉 $n$개 정점과 $m$개 간선을 갖는 그래프들 중에서 순환적이지 않은 방향 부여의 최대 수가 투라 점에서 오목한가?

주요 결과

• 완전 이분 그래프 $K_{n_1,n_2}$의 순환적이지 않은 방향 부여 수는 정확히 다중 베르누이 수 $B_{n_1}^{(-n_2)}$와 동일하며, 직접 공식 유도 및 고립 행렬과의 이분 사상에 의해 확인되었다.
• 수열 $a(K_{k,n-k})$는 $1 \leq k \leq n$ 범위에서 단조 증가-감소 성질을 가지며, $k = \lfloor n/2 \rfloor$ 또는 $k = \lceil n/2 \rceil$일 때 최댓값을 갖는다. 이는 투라 그래프 $T(2,n)$가 완전 이분 그래프 중에서 순환적이지 않은 방향 부여 수를 최대화함을 확인한다.
• 완전 삼분할 그래프 $K_{n_1,n_2,n_3}$에서 $n_1 + n_2 + n_3 = n$일 때, 순환적이지 않은 방향 부여 수에 대한 폐쇄형 공식이 4.2절에서 유도되었다.
• 수치적 증거에 따르면 $a(K_{n,n}) - a(K_{n,n}-e)$는 $a(K_{n,n}+e) - a(K_{n,n})$의 약 두 배이며, $n$이 증가함에 따라 이 비율은 점점 2에 수렴한다. 이는 간선 변화에 따른 영향에 대한 추측을 지지한다.
• 비율 $\frac{a(K_{n,n}) - a(K_{n+1,n-1})}{a(K_{n,n}) - a(K_{n,n}-e)}$는 $n = 1000$일 때 약 1.63으로 증가하며, 이는 $K_{n,n}-e$가 $K_{n+1,n-1}$보다 더 많은 순환적이지 않은 방향 부여를 갖는다는 것을 시사하지만, 수렴은 완전하지 않다.
• $n=10, 100, 1000$에 대한 계산 결과에 따르면 $K_{n,n}$은 $K_{n-1,n+1}+e$보다 더 많은 순환적이지 않은 방향 부여를 갖는다. 비율 $\frac{a(K_{n,n}) - a(K_{n-1,n+1})}{a(K_{n-1,n+1}+e) - a(K_{n-1,n+1})}$는 서서히 約 3.26로 수렴하며, 이는 일정한 값으로 수렴할 가능성이 있음을 시사한다.