[논문 리뷰] Adaptation and validation of FFT methods for homogenization of lattice based materials

S. Lucarini, Lucia Cobian외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 02.

Composite Material Mechanics참고 문헌 52인용 수 44

한 줄 요약

이 논문은 빈칸 비율이 큰 격자 기반 재료에 대해 최적화된 FFT 균질화 프레임워크를 제안하고 검증한다. 수정된 갈레르킨 FFT 솔버와 보이트 기반 표면 매끄러움 처리를 결합하여 정확도와 효율성을 향상시켰다. 이 방법은 3D 톰로그래픽 데이터를 직접 입력으로 사용할 수 있어, 적층 제조에서 유래한 실제 표면 거칠기와 내부 다공성을 유지한다. 결과적으로 기공 근처에서 국소 응력이 최대 50% 높게 나타나며, 제조 결함으로 인해 유효 탄성 계수는 10% 감소함을 확인하였다.

ABSTRACT

An FFT framework which preserves a good numerical performance in the case of domains with large regions of empty space is proposed and analyzed for its application to lattice based materials. Two spectral solvers specially suited to resolve problem containing phases with zero stiffness are considered (1) a Galerkin approach combined with the MINRES linear solver and a discrete differentiation rule and (2) a modification of a displacement FFT solver which penalizes the indetermination of strains in the empty regions, leading to a fully determined equation. The solvers are combined with several approaches to smooth out the lattice surface, based on modifying the actual stiffness of the voxels not fully embedded in the lattice or empty space. The accuracy of the resulting approaches is assessed for an octet-lattice by comparison with FEM solutions for different relative densities and discretization levels. It is shown that the adapted Galerkin approach combined with a Voigt surface smoothening was the best FFT framework considering accuracy, numerical efficiency and h-convergence. With respect to numerical efficiency it was observed that FFT becomes competitive compared to FEM for cells with relative densities above 7%. Finally, to show the real potential of the approaches presented, the FFT frameworks are used to simulate the behavior of a printed lattice by using direct 3D tomographic data as input. The approaches proposed include explicitly in the simulation the actual surface roughness and internal porosity resulting from the fabrication process. The simulations allowed to quantify the reduction of the lattice stiffness ev{as well as to resolve the stress localization of 50% near large pores.

연구 동기 및 목표

• 큰 빈 공간 영역을 가진 격자 재료에 대해 높은 정확도와 수치적 효율성을 유지하는 FFT 기반 균질화 프레임워크를 개발한다.
• 스펙트럼 솔버에서 고체 격자 부재와 빈칸 사이의 무한한 강성 대비 문제를 해결한다.
• 적층 제조에서 유래한 실제 표면 거칠기와 내부 다공성을 유지하면서 3D 톰로그래픽 데이터를 직접 입력으로 사용할 수 있도록 한다.
• 다양한 상대 밀도와 메esh 해상도 수준에서 FEM 시뮬레이션과의 비교를 통해 프레임워크를 검증하고 성능을 평가한다.
• 실제 제조 결함으로 인한 응력 집중과 강성 감소와 같은 실제 기계적 거동을 예측할 수 있는 능력을 입증한다.

제안 방법

• MINRES 선형 솔버와 수정된 푸리에 주파수를 사용하여 이산 미분 규칙(회전된 전진 스킴)을 구현한 수정된 갈레르킨 FFT 방법을 적용하였다.
• 공간 내 빈 영역에서 변형률의 결정 불확실성을 억제하는 수정된 변위 기반 FFT(MoDBFFT)를 제안하여 완전히 결정된 시스템을 확보하였다.
• 진짜 격자 표면으로부터의 거리에 기반해 표면 인접 박스에서 강성을 보간하기 위해 보이트 유형의 해석적 매끄러움 처리를 적용하였다.
• 톰로그래픽 영상에서 유도된 박자 기반 상태 지도를 사용하였으며, 부분적으로 채워진 박자에서의 강성에 수정을 가해 기브스 레이킹을 감소시키고 기하학적 정확도를 향상시켰다.
• FFT 솔버와 다양한 표면 매끄러움 기법을 조합하여 유효 성질과 국소 필드 정확도에 미치는 영향을 평가하였다.
• 다양한 상대 밀도(3.6%에서 30%)와 격자 해상도에서 오кт렛 격자 RVE에 대해 FEM 시뮬레이션과의 비교를 통해 결과를 검증하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매우 낮은 상대 밀도와 무한한 강성 대비를 가진 격자 재료에 대해 FFT 균질화가 수치적으로 효율적이고 정확하게 수행될 수 있는가?
• RQ2 빈칸이 있는 격자 구조에 적용했을 때 갈레르킨 방식과 변위 기반 방식의 FFT 솔버가 수렴성, 정확도, 효율성 측면에서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ3 실제 상대 밀도와 기하학적 특징을 유지하면서 수치적 아티팩트를 최소화하는 최적의 표면 매끄러움 기법은 무엇인가?
• RQ4 직접 톰로그래픽 입력을 사용한 FFT 시뮬레이션은 이상화된 설계 대비 실제 기계적 거동(응력 집중 및 강성 감소 포함)을 어느 정도 정확하게 예측할 수 있는가?
• RQ5 FFT가 빈도에 따라 FEM에 비해 계산적으로 경쟁 가능해지는 상대 밀도는 약 얼마인가?

주요 결과

• 보이트 기반 매끄러움 처리를 적용한 수정된 갈레르킨 FFT 솔버는 모든 테스트 케이스에서 정확도, 수치적 효율성, h-수렴성의 최적 균형을 달성하였다.
• FFT 시뮬레이션 결과, 내부 다공성(3.6%)과 표면 거칠기로 인해 이상 설계 대비 유효 엘라스티시티 모odulus가 약 10% 감소하였다.
• 실제 미세구조에서 큰 기공 근처의 국소 응력 집중은 이상화된 기하학에 비해 최대 50% 높게 나타나 파손 기인 위험이 더 크다는 것을 시사하였다.
• 수정된 갈레르킨 FFT 프레임워크는 모든 테스트 재료와 밀도에서 FEM과의 미세장 차이를 20% 이내로 감소시켰다.
• 상대 밀도가 약 7% 이상일 경우 FFT는 FEM과 계산적으로 경쟁 가능해졌으며, 30% 밀도에서 4–8배 더 빠른 시뮬레이션 시간을 기록하였다.
• 3D 톰로그래픽 데이터를 직접 사용한 시뮬레이션은 제조로 인한 결함이 매크로스코픽 강성과 국소 응력 분포를 크게 변화시킴을 드러내었으며, 이는 본 방법의 예측 능력을 검증하였다.