[논문 리뷰] Adaptation Implies Internal Model

Eduardo D. Sontag|ArXiv.org|2002. 03. 21.

Fault Detection and Control Systems참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 외부 신호의 일군의 클래스에 적응하는 비선형 시스템은 반드시 그 클래스에 속한 모든 신호를 생성할 수 있는 내부 서브시스템을 포함해야 한다는 것을 증명한다—적응성과 내부 모델링 간의 기초적인 연결을 수립한다. 미약한 기술적 조건 하에서, 시스템의 출력 조절이 0이 되는 것은 출력에 의해만 구동되는, 내부 모델로 구성된 서브시스템의 존재를 의미하며, 좌표 변환과 오메가 극한 집합 분석을 통해 외부 신호를 재생한다. 이는 선형 또는 강건하게 안정된 시스템을 초월하여 내부 모델 원리의 일반화를 이룬다.

ABSTRACT

This note provides a simple result showing, under suitable technical assumptions, that if a system S adapts to a class of external signals U, then S must necessarily contain a subsystem which is capable of generating all the signals in U. It is not assumed that regulation is robust, nor is there a prior requirement for the system to be partitioned into separate plant and controller components.

연구 동기 및 목표

• 비선형 시스템에서의 적응성이 외부 신호의 내부 모델 존재를 유도하는 일반 조건을 수립하는 것.
• 내부 모델 원리에서 구조적 안정성(강건성)이나 사전 정의된 식물-컨트롤러 분해가 필요 없도록 하는 것.
• 일반적인 비선형 시스템에 적용 가능한 미분기하학과 동역학계 이론을 사용한 최소한의 자가 포함된 증명을 제공하는 것.
• 생물학적 모델링을 지원하기 위해 신호 입력의 내부 모델을 포함하는지 여부를 구분할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 외부 신호 u(t)를 생성하는 외부계 Γ와 원래 시스템 Σ를 조합한 복합 시스템 모델을 사용하며, w(t)는 외부계 상태를 나타낸다.
• 오메가 극한 집합 분석을 적용하여 복합 시스템의 궤적이 출력 h(x) = 0이 되는 상태로 수렴해야 하며, 이는 출력 제로화 행동을 의미한다.
• 전역 미분동형사상 Φ를 사용하여 시스템을 내부 모델의 구조가 명확해지는 표준형으로 변환한다.
• 출력 제로화 집합 Z = {x | h(x) = 0}과 포아송 안정성을 사용하여 출력을 항상 0으로 유지하고 입력 신호를 추적할 수 있는 해의 존재를 보장한다.
• 모든 입력 u ∈ U에 대해, 변환된 좌표계에서 z1과 z2의 역학을 통해 내부 서브시스템이 u를 재생하는 해가 존재함을 보여준다.
• 관측 가능성 조건 하에서 선형 시스템 이론(보조정리 3.2)을 적용하여 내부 모델이 블록 대각형 구조에 포함되며, 이는 외부계 역학을 포함함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강건성이나 컨트롤러-식물 분리가 없더라도, 외부 신호의 일군의 클래스에 대한 적응은 반드시 그 신호들을 생성할 수 있는 서브시스템의 존재를 유도하는가?
• RQ2 최소한의 가정 하에서 내부 모델 원리가 일반적인 비선형 시스템에 적용 가능한가?
• RQ3 내부 모델은 어떻게 시스템 내부에 구조적으로 통합될 수 있으며, 그 존재를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 오메가 극한 집합과 출력 제로화 집합은 이러한 내부 모델 존재성을 증명하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 결과를 확장하여 내부 모델이 적절한 좌표 변환 하에서 외부계와 구조적으로 동형임을 보일 수 있는가?

주요 결과

• 외부계의 초기 상태 w0에 대해, 모든 t ≥ 0 에서 출력 h(x(t)) ≡ 0 이고 내부 상태 x(t)가 출력 제로화 집합 Z에 항상 머무르는 복합 시스템의 해가 존재한다.
• 시스템 Σ는 구조적 안정성이나 컨트롤러-식물 분해를 가정하지 않더라도, 클래스 U에 속한 모든 신호를 생성할 수 있는 서브시스템 Σim을 포함해야 한다.
• 내부 모델은 외부 입력 u에 직접 접근하지 않고 출력 y(t)에 의해만 구동되며, 이는 내부 모델 원리의 核심 조건을 확인한다.
• 변환된 좌표계에서 z1-서브시스템은 비선형 입력 항을 가진 적분기 체인에 따라 진화하며, 출력 y = ζ1 ≡ 0 이면 마지막 상태 ζr 가 일정하다.
• 각 u ∈ U에 대해, 내부 역학이 관계 b(0, z2(t)) + a(0, z2(t))u(t) ≡ 0 을 통해 u를 재생하는 해가 존재함을 보여주며, 이는 신호 재생을 증명한다.
• 관측 가능성 조건 하에서 내부 모델은 외부계 역학을 포함하는 블록 대각형 구조에 포함될 수 있으며, 이는 외부계와 내부 모델의 일부 서브시스템 간의 구조적 동형성을 보여준다.