[논문 리뷰] Adapted numerical methods for the numerical solution of the Poisson equation with $L^2$ boundary data in non-convex domains

Thomas Apel, Serge Nicaise외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 17.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비볼록 영역에서 $L^2$ 경계 데이터를 가진 포아송 방정식에 대해 표준 방법이 역점기저에 의해 수렴 차수 감소로 인해 저하되는 최적의 $L^2$ 수렴 차수 $1/2$ 를 복원하기 위해, 메쉬 그레ading을 적용한 표준 유한요소법과 이중 특이 보완법(DSCM)을 제안한다. 이 방법들은 이중 문제의 특이 행동을 효과적으로 다루며, 수치 실험 결과에서 수렴 차수 $1/2$ 에 가까운 결과를 보여, 이론적 예측을 검증한다.

ABSTRACT

The very weak solution of the Poisson equation with $L^2$ boundary data is defined by the method of transposition. The finite element solution with regularized boundary data converges in the $L^2(Ω)$-norm with order $1/2$ in convex domains but has a reduced convergence order in non-convex domains although the solution remains to be contained in $H^{1/2}(Ω)$. The reason is a singularity in the dual problem. In this paper we propose and analyze, as a remedy, both a standard finite element method with mesh grading and a dual variant of the singular complement method. The error order 1/2 is retained in both cases also with non-convex domains. Numerical experiments confirm the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 비볼록 영역에서 $L^2$ 경계 데이터를 가진 포아송 방정식의 유한요소 해에서 $L^2$-노름에서의 수렴 차수 저하 문제를 해결하기 위해.
• 비볼록 영역에서 수렴 차수를 $1/2$ 이하로 떨어뜨리는 이중 문제의 특이성 극복을 위해.
• 역점기저에 의해 영향을 받지 않고도 최적의 수렴 차수 $1/2$ 를 유지하는 수치적 방법을 개발하고 분석하기 위해.
• 내부 각도 $\omega \in (\pi, 2\pi)$ 인 영역에서 이론적 수렴 속도를 수치 실험을 통해 검증하기 위해.

제안 방법

• 내부 각도 $\omega > \pi$ 인 정점 쪽으로 메쉬를 그레ading하는 방식으로 표준 유한요소법을 수정하며, 그레ading 파라미터는 $\mu = 2\pi/\omega - 1$ 이다.
• 특이 함수 $r^{-\lambda}\sin(\lambda\theta)$ 를 포함하는 유한요소 공간을 확장하는 이중 특이 보완법(DSCM)의 변형을 도입하며, 여기서 $\lambda = \pi/\omega$ 이다.
• 약한 해가 존재하지 않으며 경계 조건이 비균일한 경우를 고려하여, $L^2$-오차 추정을 도출하기 위해 수정된 아불린-니츠체 방법을 사용한다.
• 특이 함수를 포함하는 경계 적분을 정확히 계산하기 위해, $h_E \sim h r_E^{1-\mu}$ 의 관계를 갖는 그레딩된 구분적분 규칙을 적용한다.
• 유한요소 공간과의 호환성을 확보하기 위해, $L^2$ 경계 데이터를 $L^2$ 투영 또는 준인터폴레이션을 통해 정규화한다.
• 디스크리트 문제를 $Y_{*h} \subset H^1(\Omega)$ 에서의 변분형식으로 해결하며, 딜리클레 경계 조건은 $Y_h^\partial$ 에서 근사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비볼록 영역에서 $L^2$ 경계 데이터를 가진 포아송 방정식에 대해 최적의 $L^2$ 수렴 차수 $1/2$ 를 복원할 수 있는가?
• RQ2 표준 유한요소법의 수렴 차수를 떨어뜨리는 이중 문제의 특이성은 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 메쉬 그레ading과 이중 특이 보완법은 역점기저의 영향을 어떻게 완화하는가?
• RQ4 수렴 차수 $1/2$ 를 달성하기 위해 그레딩 메쉬에 적합한 최적의 그레ading 파라미터 $\mu$ 는 무엇인가?

주요 결과

• 그레ading 파라미터 $\mu = 2\pi/\omega - 1$ 로 설정할 경우, 메쉬 그레ading을 적용한 표준 유한요소법은 비볼록 영역에서도 $L^2$-수렴 차수 $1/2$ 를 달성하며, 볼록 영역과 동일한 성능을 보인다.
• 이중 특이 보완법(DSCM) 역시 비볼록 영역에서 특이 경계 데이터가 존재하더라도 $L^2$-수렴 차수 $1/2$ 를 복원한다.
• 수치 실험 결과, 두 방법 모두 수렴 차수가 $1/2$ 에 가까이 수렴하며, $\omega = 270^\circ$ 와 $\omega = 355^\circ$ 인 경우 관측된 수렴 차수는 $0.493$ 에서 $0.498$ 사이였다.
• DSCM 해의 $L^2$-오차는 정점에서 무한대가 되는 특이 함수 $r^{-\lambda}\sin(\lambda\theta)$ 를 포함함으로써, 해의 특이 행동을 보다 잘 근사함으로써 향상된다.
• 구분적분 오차가 총 오차를 지배하지 않도록 하기 위해, 그레딩된 메쉬에 맞는 적절한 구분적분 규칙을 적용해야 한다.
• $\omega = 270^\circ$ 인 경우, DSCM는 $394241$ 개의 미지수를 사용하여 관측된 수렴 차수 $0.498$ 를 달성하였으며, 이는 이론적 값인 $1/2$ 와 매우 가까웠다.