[논문 리뷰] Adaptive and non-adaptive estimation for degenerate diffusion processes

Arnaud Gloter, Nakahiro Yoshida|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 24.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 39인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 제2성분이 확산을 갖지 않지만 드리프트 파라미터에 의존하는 퇴화된 확산 과정에 대해 비적응형 및 적응형 추정 방법을 제안한다. 양성분의 증분에 대한 연합 정보를 활용함으로써, 추정량은 더 빠른 수렴 속도와 더 낮은 점근적 분산을 달성한다. 특히 비확산 성분의 드리프트 파라미터에 대해 유의미한 성능 향상을 보이며, 정규성 조건 하에서 점근적 정규성을 입증한다.

ABSTRACT

We discuss parametric estimation of a degenerate diffusion system from time-discrete observations. The first component of the degenerate diffusion system has a parameter $θ_1$ in a non-degenerate diffusion coefficient and a parameter $θ_2$ in the drift term. The second component has a drift term parameterized by $θ_3$ and no diffusion term. Asymptotic normality is proved in three different situations for an adaptive estimator for $θ_3$ with some initial estimators for ($θ_1$ , $θ_2$), an adaptive one-step estimator for ($θ_1$ , $θ_2$ , $θ_3$) with some initial estimators for them, and a joint quasi-maximum likelihood estimator for ($θ_1$ , $θ_2$ , $θ_3$) without any initial estimator. Our estimators incorporate information of the increments of both components. Thanks to this construction, the asymptotic variance of the estimators for $θ_1$ is smaller than the standard one based only on the first component. The convergence of the estimators for $θ_3$ is much faster than the other parameters. The resulting asymptotic variance is smaller than that of an estimator only using the increments of the second component.

연구 동기 및 목표

• 제2성분이 확산 항이 없는 경우에 발생하는 파rametric 추정 문제를 다루며, 기존 방법으로는 어려움이 있는 상황을 해결한다.
• 성분 간의 의존성을 활용하여, 비확산 성분의 드리프트 파라미터에 대해 효율성을 향상시키는 추정량을 개발한다.
• 양성분의 증분 정보를 통합함으로써 θ₃의 추정량에 대해 점근적 정규성과 효율성 향상을 입증한다.
• 관측 간격이 수축하는 고주파 이산 샘플링 하에서 적응형 및 일보 추정량에 대한 이론적 근거를 제공한다.
• θ₁의 점근적 분산이 제1성분의 증분에만 기반한 추정량보다 작아지며, 이는 성분 간 상호작용 정보 덕분이다.

제안 방법

• 초기 추정량 (θ₁, θ₂)을 활용하여 성분 간 동역학의 연합 정보를 활용해 θ₃에 대한 적응형 추정량을 구성한다.
• 양성분의 증분 정보를 통합함으로써 효율성을 향상시킨 (θ₁, θ₂, θ₃)에 대한 일보 추정량을 제안한다.
• 초기 추정량이 필요 없이 (θ₁, θ₂, θ₃)에 대한 연합 위상최대우도 추정량을 사용하여 일致성과 점근적 정규성을 보장한다.
• Y의 증분 전이 밀도에 대한 국소 정규 근사화를 적용하고, X 동역학에 공변량 Y를 통합함으로써 정밀도를 향상시킨다.
• 랜덤 필드 이론과 마틴게일 중심극한정리 등을 활용하여 추정 함수와 그 도함수의 수렴성을 입증한다.
• 조건 [A1], [A2], [A3(ii)], [A4♯](i)를 바탕으로 추정 방정식과 헤시안 근사의 수렴을 통해 점근적 정규성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제2성분이 확산 항이 없는 퇴화된 확산 과정에서 드리프트 파라미터 θ₃에 대해 효율적 추정이 가능할 수 있는가?
• RQ2 양성분의 증분 정보를 통합함으로써 추정량의 점근적 분산과 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 점추정의 효율성에 대해 연합 정보와 마진 정보의 영향은 어떠한가?
• RQ4 고주파 이산 샘플링 하에서 nh → ∞ 이고 nh² → 0 인 조건에서 적응형 및 일보 추정량이 점근적 정규성과 효율성을 달성할 수 있는가?
• RQ5 θ₁의 점근적 분산은 연합 정보를 사용했을 때와 제1성분의 증분만을 사용했을 때에 비해 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• θ₁의 추정량 점근적 분산은 제1성분의 증분에만 기반한 표준 추정량보다 작으며, 이는 성분 간 상호작용 정보 덕분이다.
• θ₃의 수렴 속도는 θ₁ 및 θ₂보다 유의미하게 더 빠르며, 제2성분의 증분에만 기반한 추정량보다 점근적 분산이 작다.
• 연합 위상최대우도 추정량은 정규성 조건 하에서 초기 추정량이 필요 없이 (θ₁, θ₂, θ₃)에 대해 점근적 정규성을 달성한다.
• 일관된 초기 추정량과 결합된 (θ₁, θ₂, θ₃)에 대한 일보 추정량은 점근적 정규성을 보이며, 한계 분포는 N(0, diag[(Γ⁽¹⁾)⁻¹, Γ₂₂⁻¹])이다.
• θ₂의 추정량은 θ₁의 추정량과 점근적으로 직교하며, 이는 블록 대각 행렬 형태의 점근적 공분산 행렬을 갖는 공동 점근적 정규성을 가능하게 한다.
• 조건 [A1]에서 (i_A,j_A,i_B,j_B,i_H,j_H) = (1,1,2,1,0,0) 이 θ₂에 대해, (1,3,2,1,0,0) 이 헤시안에 대해 성립하며, [A2], [A3(ii)], [A4♯](i)와 함께 점근적 정규성이 입증된다.