[논문 리뷰] Adaptive estimation of the baseline hazard function in the Cox model by model selection, with high-dimensional covariates

Agathe Guilloux, Sarah Lemler외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 01.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 58인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고차원 Cox 비례 위험 모델에서 기저 위험 함수에 대한 적응형 추정기를 제안한다. 두 단계 절차를 사용한다: 첫째, 부분 로그우도를 통한 Lasso 추정을 통해 회귀 매개변수를 추정하고, 둘째, 최소제곱형 대비를 통한 모델 선택을 통해 기저 위험 함수를 추정한다. 주요 기여는 수렴 속도를 규명하는 비점근적 오라클 부등식을 제공하는 것으로, 차원 수가 증가할수록 추정 오차가 증가하는 경향을 보여준다.

ABSTRACT

The purpose of this article is to provide an adaptive estimator of the baseline function in the Cox model with high-dimensional covariates. We consider a two-step procedure : first, we estimate the regression parameter of the Cox model via a Lasso procedure based on the partial log-likelihood, secondly, we plug this Lasso estimator into a least-squares type criterion and then perform a model selection procedure to obtain an adaptive penalized contrast estimator of the baseline function. Using non-asymptotic estimation results stated for the Lasso estimator of the regression parameter, we establish a non-asymptotic oracle inequality for this penalized contrast estimator of the baseline function, which highlights the discrepancy of the rate of convergence when the dimension of the covariates increases.

연구 동기 및 목표

• 고차원 생존 모델에서 기저 위험 함수에 대한 점근적 결과가 없는 문제를 다루기.
• 예측 변수 수 p가 표본 크기 n을 초과할 때 기저 위험 함수를 추정하기 위한 이중 절차 개발.
• 모델 선택과 농도 불확실성 부등식을 활용한 기저 위험 함수 추정기의 이론적 보장을 수립하기.
• 고차원 희박성 조건 하에서 추정기의 수렴 속도를 정량화하는 비점근적 오라클 부등식 제공.
• Lasso를 통한 회귀 매개변수 추정과 페널티 기반 모델 선택을 조합하여 기저 위험 함수 추정기의 적응성 확보하기.

제안 방법

• 고차원 회귀 매개변수 β₀를 추정하기 위해 부분 로그우도에 Lasso 페널티를 적용한다.
• β₀의 Lasso 추정기를 최소제곱형 대비 함수에 삽입하여 기저 위험 함수를 추정한다.
• Akaike 및 Mallows 기준에 기반한 모델 선택 절차를 적용하여 후보 함수 집합에서 최적의 기저 위험 함수 추정기를 선별한다.
• Huang 등(2013)의 결과와 비점근적 농도 불확실성 부등식을 활용하여 Lasso 추정기의 이탈을 통제한다.
• 기저 위험 함수의 페널티 기반 대비 추정기의 비점근적 오라클 부등식을 유도한다.
• 도브-마이어 분해와 마틴갈의 베르누이 부등식을 활용하여 추정 오차 내의 경험 과정 항을 근사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 예측 변수 수 p가 표본 크기 n을 초과할 때 Cox 모델에서 기저 위험 함수를 일관적으로 추정하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 고차원 설정에서 기저 위험 함수의 적응형 추정기의 비점근적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 최소제곱 대비에 적용된 모델 선택 절차가 기저 위험 함수 추정에 대해 오라클 부등식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 진짜 회귀 매개변수 β₀의 희박성이 기저 위험 함수 추정 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 Lasso 추정 이후 모델 선택을 수행하는 이중 절차에 대해 어떤 이론적 보장이 가능할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 추정기는 기저 위험 함수 추정 오차를 통제하는 비점근적 오라클 부등식을 달성한다.
• 추정기의 수렴 속도는 차원 수 증가에 따라 악화되며, 이는 오차 한계 내 log(pnᵏ)/n에 의존함으로써 반영된다.
• 확률 1 - cn⁻ᵏ 이상으로, β₀의 Lasso 추정기 |β̂ - β₀|₁ ≤ C(s)√(log(pnᵏ)/n)를 만족한다. 여기서 s는 희박성 지표이다.
• 설계 행렬과 기저 위험 함수의 유계성 조건 하에서 기저 위험 함수 추정기의 오라클 부등식을 도출한다.
• 후보 함수 집합 내에 진짜 모델가 존재할 경우 최적의 추정 속도를 달성하기 위해 후보 함수 집합에서 최적의 모델을 선택함으로써 적응성을 확보한다.
• 이론적 결과는 점근적이지 않으며 p > n일 때에도 성립하여 기존 방법을 고전적 저차원 영역을 초월하여 확장한다.