[논문 리뷰] Adaptive Euler-Maruyama Method for SDEs with Non-globally Lipschitz Drift: Part I, Finite Time Interval

Wei Fang, Michael B. Giles|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 20인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 비글로벌 리프시츠 조건을 만족하는 드리프트를 가진 확률미분방정식(SDEs)에 대해, 현재 해에 따라 변화하는 시간스텝을 사용하여 안정성을 확보하는 적응형 오일러-마루야마 방법을 제안한다. 적절한 시간스텝 한계를 두었을 때, 일반적인 SDEs에 대해 강한 수렴 차수 $1/2$를 확보하고, 단위 분산을 가진 라ン지비에이 SDEs에 대해서는 강한 수렴 차수 $1$을 달성하며, 유한한 시간 간격 동안 기대 시간스텝 수가 유한함을 증명한다.

ABSTRACT

This paper proposes an adaptive timestep construction for an Euler-Maruyama approximation of SDEs with a drift which is not globally Lipschitz. It is proved that if the timestep is bounded appropriately, then over a finite time interval the numerical approximation is stable, and the expected number of timesteps is finite. Furthermore, the order of strong convergence is the same as usual, i.e. order one-half for SDEs with a non-uniform globally Lipschitz volatility, and order one for Langevin SDEs with unit volatility and a drift with sufficient smoothness. The analysis is supported by numerical experiments for a variety of SDEs.

연구 동기 및 목표

• 비글로벌 리프시츠 조건을 만족하는 드리프트를 가진 SDEs에 적용했을 때 균일 시간스텝 오일러-마루야마 방법의 불안정성을 해결하기 위해.
• 안정성을 유지하면서도 표준 강한 수렴 차수를 유지하는 적응형 시간스텝 전략을 개발하기 위해.
• 적절한 시간스텝 한계 하에서, 유한한 시간 간격 동안 기대 시간스텝 수가 유한함을 증명하기 위해.
• 드리프트가 국소 리프시츠 조건을 만족하고 한쪽 방향 선형 성장 조건을 만족할 때, 수렴 이론을 확장하기 위해.
• 표준 방법과 동일한 강한 수렴 차수를 달성하지만, 암시적 또는 안정화된 방법을 요구하지 않는 적응형 방법의 성능을 보여주기 위해.

제안 방법

• 시간스텝 $ h_n $는 현재 근사해 $ \widehat{X}_{t_n} $에 따라 변화하며, 특히 드리프트 함수의 노름에 반비례하도록 스케일링된다.
• 시간스텝의 폭발을 방지하기 위해 상한선을 설정하여, 비글로벌 리프시츠 조건을 만족하는 드리프트일지라도 수치적 안정성을 확보한다.
• 해의 성장 제어를 위해 안정성 함수로 $ \|x\|^2 $를 사용하는 라플라스 유형의 추론을 분석에 활용한다.
• 오차 분석에서 해의 성장을 제어하기 위해 드리프트에 대한 국소 한쪽 방향 리프시츠 조건을 핵심적으로 활용한다.
• 수렴 증명은 버크홀더-데이비스-건디 부등식과 그로워랄의 부등식을 적용하여 오차의 기대 Supremum를 유계화한다.
• 수치적 안정성을 동적 시간스텝 조절을 통해 확보하면서도, 오일러-마루야마 방법의 명시적 구조를 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비글로벌 리프시츠 조건을 만족하는 드리프트를 가진 SDEs에 대해, 적응형 시간스텝을 사용하여 명시적 오일러-마루야마 방법을 안정화시킬 수 있는가?
• RQ2 적응형 시간스텝 전략이 표준 강한 수렴 차수를 유지하는가, 즉 일반적인 SDEs에 대해 $ \frac{1}{2} $이고, 단위 분산을 가진 라ン지비에이 SDEs에 대해 1인가?
• RQ3 적응형 전략 하에서, 유한한 시간 간격 동안 기대 시간스텝 수가 유한한가?
• RQ4 드리프트가 비글로벌 리프시츠 조건을 만족하지 않더라도, 한쪽 방향 선형 성장 조건을 만족할 경우에도 방법이 안정성을 유지할 수 있는가?
• RQ5 기존의 안정화된 방법들, 예를 들어 테임드 오일러-마루야마 방법과 비교해 성능 및 수렴 특성에서 어떻게 다른가?

주요 결과

• 비균일한 글로벌 리프시츠 조건을 만족하는 분산과 국소 리프시츠 조건을 만족하고 한쪽 방향 선형 성장 조건을 만족하는 드리프트를 가진 SDEs에 대해, 적응형 오일러-마루야마 방법은 강한 수렴 차수 $ \frac{1}{2} $를 달성한다.
• 단위 분산과 매끄러운 드리프트를 가진 라ン지비에이 SDEs에 대해, 방법은 강한 수렴 차수 1을 달성하며, 이는 고전적 수렴 속도와 일치한다.
• 적절한 적응형 시간스텝 한계 하에서, 유한한 시간 간격 $[0, T]$ 동안 사용된 기대 시간스텝 수는 유한하다.
• 균일 시간스텝 방법이 실패할 수 있는 상황에서도, 동적 시간스텝 조절을 통해 수치적 안정성을 확보한다.
• 수치 실험을 통해 기대 수렴 속도가 테임드 오일러 방법과 비교해 경쟁력 있거나 더 우수한 성능을 보임을 확인하였다.
• 오일러-마루야마 방법의 명시적 구조를 유지하여 암시적 또는 안정화된 방법을 사용할 경우의 계산 비용을 피한다.