[논문 리뷰] Adaptive Finite Time Stability of Delayed Systems With Applications to Network Synchronization

Xiwei Liu|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 01.

Neural Networks Stability and Synchronization참고 문헌 28인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 시간 지연이 있는 시스템에서 유계 또는 이질적인 시간 지연이 존재하더라도, 단 두 개의 간단한 제어 항만을 사용하여 유한 시간 안정성(FnTSta)을 달성하기 위한 새로운 이단계 방법(2PM)을 제안한다. 이 방법은 오차 노름이 초기값에서 1로, 그 다음 1에서 0으로 수렴하도록 하여, 유한 시간 안정성의 이론적 기반을 마련하고, 적응형 유한 시간 안정성(AFnTSta)을 구현함으로써, 무한대 지연을 가진 복잡한 네트워크에서의 유한 시간 외부 동기화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

The finite time stability (FnTSta) theory of delayed systems has not been set up until now. In this paper, we propose a two-phases-method (2PM), to achieve this object. In the first phase, we prove that the time for norm of system error evolving from initial values to 1 is finite; then in the second phase, we prove that the time for norm of the error evolving from 1 to 0 is also finite, thus FnTSta is obtained. Considering the cost and complexity of controller, we use only two simple terms to realize this aim. For the proposed 2PM, time delays can be the same or asynchronous, bounded or unbounded, etc; the norm can be $2$-norm, $1$-norm, $\infty$-norm, which show that 2PM is powerful and has a wide scope of applications. Furthermore, we also prove the adaptive finite time stability (AFnTSta) theory of delayed systems using 2PM. As an application of the obtained FnTSta theory, we consider the finite time outer synchronization (FnTOSyn) for complex networks with asynchronous unbounded time delays, corresponding criteria are also obtained. Finally, two numerical examples are given to demonstrate the validity of our theories.

연구 동기 및 목표

• 지연 시스템에 대한 유한 시간 안정성(FnTSta) 이론을 수립하는 것. 이는 이전에 다루지 않은 분야이다.
• 시간 지연 항을 포함하지 않는 간단한 제어기를 설계하여 FnTSta를 달성하는 것.
• 모델의 미지 또는 시간에 따라 변하는 파rameter를 가진 시스템으로 이론을 확장하여 적응형 유한 시간 안정성(AFnTSta)을 수립하는 것.
• 비동기적이고 무한대 지연을 가진 복잡한 네트워크에서의 유한 시간 외부 동기화(FnTOSyn)를 달성하기 위해 이론을 적용하는 것.
• 엄밀한 라플라스 기반 증명과 수치 예제를 통해 이론적 프레임워크를 검증하는 것.

제안 방법

• 유한 시간 수렴 과정을 두 개의 별개 단계로 분리하는 이단계 방법(2PM)을 제안한다. 첫 번째 단계는 오차 노름을 초기값에서 1로 줄이고, 두 번째 단계는 1에서 0으로 줄이는 것이다.
• Phase I에서 시간에 따라 변하는 라플라스 함수 $ V_7(t) = \nu(t)\big\|p(t)\big\big\rfloor_{\text{max}} $ 를 사용하여 노름 1로의 유한 시간 수렴을 보장한다.
• Phase II에서 두 번째 라플라스 함수 $ V_8(t) = \big\big\rfloor_{\text{max}} + \nu_2 t $ 를 사용하며, 여기서 $ \nu_2 > 0 $ 이다. 이는 0으로의 유한 시간 수렴을 보장한다.
• 미지의 파라미터를 위한 적응 법칙을 도입하며, $ \frac{1}{2d_1}(c_3(t) - c_3^*)^2 $ 와 같은 업데이트 규칙을 사용하여 상태 수렴과 함께 파라미터 수렴을 보장한다.
• 2PM 프레임워크를 무한대 지연을 가진 복잡한 네트워크에 적용하여, $ \big\big\rfloor_{1} $-노름과 $ \big\big\rfloor_{\text{max}} $-노름 라플라스 함수를 사용하여 유한 시간 외부 동기화가 성립함을 증명한다.
• 미분 부등식과 최대값 기반 라플라스 함수를 사용하여 시간에 따라 변하는 무한대 지연을 다루며, 다양한 지연 유형에 대해 강건성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어기에서 시간 지연 항을 사용하지 않고도 지연 시스템에서 유한 시간 안정성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 간단한 두 항으로 구성된 제어기가 무한대 또는 이질적인 시간 지연을 가진 시스템에서의 유한 시간 수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ3 미지 또는 시간에 따라 변하는 파라미터와 지연을 가진 시스템에서 적응형 유한 시간 안정성을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법이 비동기적이고 무한대 지연을 가진 복잡한 네트워크에서의 유한 시간 외부 동기화를 보장할 수 있는가?
• RQ5 일반적인 지연 조건 하에서 유한 시간 수렴을 보장하기 위해 다양한 노름(1-노름, ∞-노름)이 수행하는 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 이단계 방법(2PM)은 무한대, 이질적 또는 유계 시간 지연을 가진 지연 시스템에 대해 성공적으로 유한 시간 안정성(FnTSta)을 수립한다.
• 정착 시간은 유한하며 초기 조건에 따라 달라지며, 시스템은 두 개의 유한 단계를 거쳐 평형 상태에 도달한다: 초기 노름에서 1로, 그 다음 1에서 0으로.
• 모든 파라미터가 알려지지 않거나 시간에 따라 변하더라도, 단 두 개의 제어 항과 적응 법칙만으로도 적응형 유한 시간 안정성(AFnTSta)이 달성된다.
• 비동기적이고 무한대 지연을 가진 복잡한 네트워크에서의 유한 시간 외부 동기화(FnTOSyn)가 2PM 프레임워크를 통해 증명된다.
• 수치 예제들은 이론적 결과를 확인하며, 제안된 제어 법칙 하에서 오차가 유한 시간 내에 빠르게 0으로 수렴하는 것을 보여준다.
• 이 방법은 1-노름, ∞-노름, 2-노름 등 다양한 노름에 대해 강건하며, 다양한 시스템 유형과 지연 구조에 광범위하게 적용 가능함을 보여준다.