[논문 리뷰] Adaptive First-Order System Least-Squares Finite Element Methods for Second Order Elliptic Equations in Non-Divergence Form

Weifeng Qiu, Shun Zhang|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 27.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 28인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 적응형 1차 체계 최소제곱 유한요소법(LSFEMs)을 제안한다. 이는 적분별부분적분 호환성이 결여된 비발산형 2차 타원형 PDE에 대해 기존 갈레르킨 방법이 실패하는 상황에서 사용된다. 기울기를 새로운 변수로 도입하고, $C^0$ 유한요소와 $L^2$-, 가중치-LSFEM 형식을 사용함으로써, 약한 조건 하에서도 최적 수렴률을 확보하고, 특히 특이해와 열화계수 문제에서 뛰어난 성능을 발휘하는 것으로 나타났다.

ABSTRACT

This paper studies adaptive first-order least-squares finite element methods for second-order elliptic partial differential equations in non-divergence form. Unlike the classical finite element method which uses weak formulations of PDEs not applicable for the non-divergence equation, the first-order least-squares formulations naturally have stable weak forms without using integration by parts, allow simple finite element approximation spaces, and have build-in a posteriori error estimators for adaptive mesh refinements. The non-divergence equation is first written as a system of first-order equations by introducing the gradient as a new variable. Then two versions of least-squares finite element methods using simple $C^0$ finite elements are developed in the paper, one is the $L^2$-LSFEM which uses linear elements, the other is the weighted-LSFEM with a mesh-dependent weight to ensure the optimal convergence. Under a very mild assumption that the PDE has a unique solution, optimal a priori and a posteriori error estimates are proved. With an extra assumption on the operator regularity which is weaker than traditionally assumed, convergences in standard norms for the weighted-LSFEM are also discussed. $L^2$-error estimates are derived for both formulations. We perform extensive numerical experiments for smooth, non-smooth, and even degenerate coefficients on smooth and singular solutions to test the accuracy and efficiency of the proposed methods.

연구 동기 및 목표

• 비차별계수로 인해 변분형식이 존재하지 않는 비발산형 2차 타원형 PDE를 해결하는 데 도전한다.
• 적분별부분적분에 의존하는 고전적 유한요소법이 비발산형 연산자에 대해 실패하는 한계를 극복한다.
• 최소제곱 유한요소 형식을 안정적이고 일致되게 구성하며, 최소한의 정규성 조건을 가진 1차 체계를 사용한다.
• 약한 유일성 가정과 가중치-LSFEM의 향상된 정규성 조건 하에서 최적의 사전 및 사후 오차 추정을 수립한다.
• 스무스, 비스무스, 열화계수 문제에 대해 $L^2$-LSFEM과 가중치-LSFEM을 사용한 적응형 메쉬 구조 개선의 효과를 입증한다.

제안 방법

• 기울기를 보조 변수로 도입하여 2차 비발산형 PDE를 1차 체계로 재구성한다.
• 두 가지 최소제곱 유한요소 형식을 구성한다: 선형 $C^0$ 요소를 사용한 $L^2$-LSFEM과 메쉬에 의존하는 가중치를 사용한 가중치-LSFEM로 최적 수렴을 보장한다.
• 해와 기울기 변수 양자 모두에 $C^0$ 유한요소 공간을 사용하여 단순하고 일致된 이산화를 가능하게 한다.
• 1차 체계의 가중치 잔차의 합으로 최소제곱 기능을 정의하여 적분별부분적분을 피한다.
• 요소 잔차 기반의 사후 오차 추정기를 유도하여 적응형 메쉬 구조 개선을 수행한다.
• 사후 오차 지표에 기반한 적응형 메쉬 구조 개선을 적용하여 최소한의 자유도로 정확도를 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 약한 형식이 적용 불가능한 비발산형 2차 타원형 PDE에 대해 1차 체계 최소제곱 유한요소법이 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ2 유일한 해 존재성과 계수 행렬의 유계성 외에 최소한의 가정 하에서 $L^2$-LSFEM과 가중치-LSFEM의 수렴 행동은 어떠한가?
• RQ3 해가 전체 $H^2$ 정규성을 갖지 못하는 비스무스 또는 열화계수 문제에서 제안된 방법의 성능은 어떠한가?
• RQ4 특이점이나 낮은 정규성 조건이 존재할 때, 적응형 메쉬 구조 개선이 자유도를 크게 줄이면서도 최적 수렴률을 유지할 수 있는가?
• RQ5 $L^2$-LSFEM과 가중치-LSFEM 간의 수렴 차수 및 효율성은 다양한 해와 계수 정규성 조건에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 유일한 해 존재성과 계수 행렬의 유계성이라는 온건한 가정 하에서 최적의 사전 및 사후 오차 추정이 증명되었다.
• 가중치-LSFEM은 열화계수가 존재하는 경우에도 에너지 노름과 해의 $L^2$-노름에서 최적의 수렴 차수 $k$를 확보한다.
• $S_{1,0} \times S_{1}^2$ 요소를 사용한 $L^2$-LSFEM의 경우, 낮은 정규성과 열화로 인해 $L^2$-오차는 수렴률 1을 보이고, 에너지 노름은 1보다 작은 수렴률을 보인다.
• L-형 도메인에서 $A_5$ (홀더 연속) 조건을 가진 경우, $S_{3,0} \times S_{2}^2$ 가중치-LSFEM은 오직 50개의 자유도로 $||\nabla(u - u_h)||_0 \leq 0.01$을 달성하지만, $L^2$-LSFEM은 7,618개의 노드가 필요하다.
• 특이점과 좌표축 근처에 메쉬 구조가 집중되는 것으로 나타나, $u = x^{4/3} - y^{4/3}$ 문제에서 효과적인 오차 국소화가 이루어졌음을 확인했다.
• L-형 문제에서 $A_5$, $A_6$, $A_7$ 조건을 가진 모든 적응형 방법이 최적의 수렴 차수를 확보하여 계수 정규성 클래스에 관계없이 강건함을 입증했다.